在处理公司辞退员工的赔偿问题时，我们确实需要细致考虑多种情形，并严格依据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定来执行。以下是对公司辞退员工赔偿情况的详细解析，希望能为您提供清晰、全面的指导。

一、无需支付经济补偿金的情形

1. 员工存在过错：

   • 若员工在试用期内被证明不符合录用条件，或存在严重违反公司规章制度、严重失职、营私舞弊给公司造成重大损害、被依法追究刑事责任等法定过错情形，公司有权解除劳动合同且无需支付经济补偿金。

2. 试用期辞退的特定情况：

   • 试用期内的辞退，除了上述不符合录用条件外，若员工严重违纪或给企业造成损害，同样无需支付经济补偿。但需注意，试用期内的辞退也需遵循法定程序，确保辞退理由的充分性与合法性。

二、需支付经济补偿金的情形

1. 无过失性辞退：

   • 当员工因患病或非因工负伤，在医疗期满后不能从事原工作或另行安排的工作，或因劳动合同订立时的客观情况发生重大变化导致合同无法履行且协商未果时，公司需提前通知或额外支付一个月工资后解除劳动合同，并支付经济补偿金。经济补偿金按员工在本单位的工作年限计算，每满一年支付一个月工资，六个月以上不满一年的按一年计算，不满六个月的支付半个月工资。

2. 经济性裁员：

   • 若公司因经营需要裁减人员，需提前向工会或全体员工通告，并提供详细裁员方案。裁减后六个月内重新招用时，应优先招用被裁减人员。同时，公司需支付经济补偿金，计算标准与无过失性辞退相同。

3. 劳动合同期满不续签：

   • 劳动合同期满后，若公司决定不再续签或降低条件续签而员工不同意，公司需向员工支付经济补偿金，计算方式同上。

4. 用人单位解散等情况：

   • 若公司被宣告破产、吊销营业执照、责令关闭、撤销或决定提前解散，需向员工支付经济补偿金。

5. 双方协商一致解除合同：

   • 若公司与员工协商一致解除合同，同样需按照工作年限支付经济补偿金。

三、需支付赔偿金的情形

• 违法解除劳动合同：
  • 若公司辞退员工不符合法定情形，即构成违法解除劳动合同，需按照经济补偿标准的二倍向员工支付赔偿金。例如，员工无上述法定过错情形，也不存在经济性裁员等合法辞退情况，仅因公司个人喜好或其他不合理原因被辞退，公司需支付双倍经济补偿金作为赔偿金。

四、特殊保护群体

• 对于从事职业病危害作业未进行离岗前健康检查、患职业病或因工负伤丧失劳动能力的员工，以及连续工作满15年且距退休不足5年的员工，公司不得单方解除劳动合同，否则需承担相应法律责任及赔偿责任。

五、其他注意事项

1. 书面形式：辞退员工时，公司应以书面形式发出辞退通知书，详细阐述辞退缘由。
2. 证据支持：若因员工严重违反规章制度而辞退，公司需提供充分证据作为支撑。
3. 薪资结算：终止劳动关系后，公司应结算至正式解雇当日的薪资。
4. 税收规定：赔偿金在当地职工年平均工资3倍以内的部分免征个人所得税，超出部分按规定征税。
5. 权益保障：若公司拒付补偿，员工可向劳动监察部门投诉或申请仲裁，需准备劳动合同、工资单、辞退通知等证据。

综上所述，公司辞退员工的赔偿情况需根据具体情形而定。在处理此类问题时，建议公司咨询专业律师或当地劳动部门以确保合法合规，同时也建议员工充分了解自身权益，必要时通过法律途径维护合法权益。