冤假错案的纠正与责任追究主要由各级人民法院和人民检察院负责，同时涉及多个法律主体和程序。以下是对此问题的详细解答：
责任承担主体
司法人员个人：
- 侦查人员、检察人员、审判人员在各自职责范围内，若因故意或重大过失导致冤假错案，将面临行政处分或刑事责任。例如，侦查人员刑讯逼供可能构成刑讯逼供罪，审判人员枉法裁判可能构成民事、行政枉法裁判罪。
司法机关：
- 司法机关需承担国家赔偿责任，支付赔偿金，包括限制人身自由的赔偿金、身体伤害或死亡的相关赔偿等。同时，司法机关内部将启动监督和纠错程序，复查和纠正冤假错案，追究相关责任人责任。
赔偿义务机关：
- 赔偿义务机关在赔偿后，有权向在处理案件中有贪污受贿、徇私舞弊、枉法裁判等行为的工作人员追偿部分或全部赔偿费用。
冤假错案的纠正程序
审判监督程序：
- 根据《中华人民共和国刑事诉讼法》的规定，当事人及其法定代理人、近亲属对已经发生法律效力的判决、裁定，可以向人民法院或者人民检察院提出申诉。人民法院对确有错误的生效裁判，可以依职权启动再审程序，重新审理案件，纠正错误判决。
具体负责部门：
- 在人民法院，立案庭负责接收申诉材料，进行初步审查；刑事审判庭或专门设立的审判监督庭负责对申诉案件进行实质审查，决定是否启动再审程序。
- 在人民检察院，控告申诉检察部门负责接收当事人的申诉材料，进行初步调查核实；刑事执行检察部门（监所检察部门）对于涉及服刑人员的申诉，可能参与调查和监督。
申诉途径与赔偿请求
申诉途径：
- 当事人及其法定代理人、近亲属认为已生效的判决、裁定有错误时，可向人民法院或人民检察院提出申诉。虽然申诉不能停止判决、裁定的执行，但它是启动审判监督程序的重要途径。
赔偿请求：
- 赔偿请求人要求赔偿时，应先向赔偿义务机关提出；也可在申请行政复议或提起行政诉讼时一并提出。国家赔偿以支付赔偿金为主，同时可能采取返还财产或恢复原状的方式进行。侵犯公民人身自由的赔偿金按国家上年度职工日平均工资计算。
其他相关部门的协助
公安机关：
- 在必要时，配合法院或检察院的调查工作，提供必要的证据和材料。
司法行政机关：
- 如律师协会等，可以为申诉人提供法律援助，帮助其维护合法权益。
举例说明：
假设某公民因被错误指控犯罪而被判刑，后经申诉发现原判决存在错误。在此情况下，该公民可以向人民法院或人民检察院提出申诉。人民法院将启动审判监督程序，重新审理案件，并可能依法改判或发回重审。同时，该公民有权向赔偿义务机关提出国家赔偿请求，要求支付赔偿金以弥补其因冤假错案所遭受的损失。
总结与建议：
冤假错案的纠正与责任追究是一个复杂而重要的法律问题。如果您或您身边的人遭遇了冤假错案，不要慌张，及时通过合法途径提出申诉，并寻求专业法律帮助。作为专业律师，我擅长处理刑事案件，包括冤假错案的纠正与责任追究等问题。如果您有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。