私立学校开除老师是否需要赔偿，以及赔偿的具体情况，主要取决于开除的原因是否合法合规。以下从不同角度进行分析：

1. 合法开除的情况：

   • 如果老师存在严重违反学校规章制度、法律法规或劳动合同约定的行为，如严重失职、营私舞弊、对学校造成重大损害，或者被依法追究刑事责任等，学校有权依据相关法律法规和劳动合同的规定，合法解除与老师的劳动关系，且无需支付赔偿金。
   • 法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条，劳动者有下列情形之一的，用人单位可以解除劳动合同：（一）在试用期间被证明不符合录用条件的；（二）严重违反用人单位的规章制度的；（三）严重失职，营私舞弊，给用人单位造成重大损害的；（四）劳动者同时与其他用人单位建立劳动关系，对完成本单位的工作任务造成严重影响，或者经用人单位提出，拒不改正的；（五）因本法第二十六条第一款第一项规定的情形致使劳动合同无效的；（六）被依法追究刑事责任的。

2. 非法开除的情况：

   • 如果学校无正当理由或违反法定程序开除老师，如未提前通知、未支付经济补偿等，则构成非法解除劳动关系，学校需要承担相应的法律责任，包括支付赔偿金。
   • 赔偿标准：根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十七条和第八十七条，经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，以每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。如果学校非法解除劳动关系，则需要按照经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。
   • 计算公式：赔偿金 = 经济补偿 × 2 = （工作年限 × 月工资）× 2（其中，月工资是指劳动者在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资）。

3. 特殊情况：

   • 如果老师与学校签订的劳动合同中有特别约定，如关于开除的条件、赔偿等，且该约定不违反法律法规的强制性规定，则应按照劳动合同的约定执行。
   • 如果老师认为学校的开除行为违法或不当，可以通过劳动争议调解仲裁机构或人民法院进行维权，要求学校支付赔偿金或恢复劳动关系等。

建议：

• 对于老师而言，如果遭遇非法开除，应保留好相关证据，如劳动合同、工资单、开除通知等，以便在维权时提供有力支持。
• 对于学校而言，应严格遵守法律法规和劳动合同的约定，合法合规地处理与老师的劳动关系，避免引发不必要的法律纠纷。

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