结论前置：员工合同到期时，用人单位可以选择不续签劳动合同并辞退员工，但必须严格遵守法律规定的条件和程序，是否支付经济补偿取决于具体情形，违法辞退则需承担二倍经济补偿标准的赔偿金。以下是对此问题的详细分析：
一、合同到期后的基本处理原则
- 自然终止：劳动合同到期即意味着双方约定的劳动期限结束，此时劳动关系自然终止。但这并不意味着用人单位可以随意辞退员工，仍需遵循相关法律法规。
二、合同到期后不续签与辞退的具体情形及经济补偿
正常到期不续签：
- 若用人单位决定不再与员工续签劳动合同，且不存在法定必须续签的情形，则需根据员工在本单位的工作年限支付经济补偿。
- 经济补偿标准：按劳动者在本单位工作年限，每满一年支付一个月工资；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资。这里的“工资”指劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资。
- 计算公式：经济补偿金 = 工作年限 × 月工资（工作年限不足一年的部分，按实际月数计算，六个月以上按一年算，不满六个月按半个月工资算）。
公司维持或提高条件续订，员工不同意：
- 在这种情况下，由于用人单位提供了不低于原合同条件的续订机会而员工拒绝，因此用人单位无需支付经济补偿，劳动合同自然终止。
公司降低条件续订，员工不同意：
- 若用人单位试图以降低劳动条件的方式续订合同而员工不接受，则用人单位需按照正常到期不续签的标准向员工支付经济补偿。
员工存在法定情形：
- 如员工存在《劳动合同法》第三十九条规定的严重违反规章制度、失职等行为，用人单位可以在合同到期时不续签且无需支付经济补偿。
三、必须续签的情况
- 连续工作满十年或二次固定期限合同：
- 若劳动者在用人单位连续工作满十年，或连续订立二次固定期限劳动合同且没有《劳动合同法》第三十九条和第四十条第一项、第二项规定的情形，当劳动合同期满时，除非劳动者提出订立固定期限劳动合同，否则用人单位应当与劳动者订立无固定期限劳动合同。此时，用人单位不得随意辞退员工。
四、特殊情况下的劳动合同续延
- 根据《劳动合同法》第四十二条及第四十五条，若员工存在特定情形（如接触职业病危害作业未进行离岗前职业健康检查、患职业病或因工负伤丧失劳动能力、患病或非因工负伤在医疗期内、女职工在孕期、产期、哺乳期等），劳动合同应续延至相应情形消失时终止。期间，用人单位不得辞退员工。
五、程序性要求
- 用人单位辞退员工时，需遵循法定程序，包括提前通知员工（一般无过错性辞退需提前30日书面通知）并明确解除原因、时间等内容。
- 办理离职手续，包括交接工作、归还财物、结清工资、出具离职证明等，确保劳动关系顺利终结。
六、违法辞退的后果
- 若用人单位无正当理由或违反法律规定辞退员工，则构成违法解除劳动合同，需按照经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。
- 计算公式：赔偿金 = 2 × 经济补偿金 = 2 × 工作年限 × 月工资。
实例分析
- 例如，小张与公司签订的三年固定期限劳动合同到期。若公司提出以原工资待遇续签，小张不同意，则公司无需支付经济补偿；若公司降低工资待遇续签，小张拒绝，公司需支付经济补偿；若公司直接不续签，同样需支付经济补偿。
- 又如，小李在合同到期后处于医疗期内，此时公司不得辞退小李，劳动合同应续延至医疗期满。若公司违法辞退，则需支付赔偿金。
综上所述，员工合同到期时，用人单位在辞退员工时必须严格遵守法律规定的条件和程序，充分考虑员工权益，以避免不必要的法律纠纷。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。