伤者出院后与保险公司关于赔偿问题的处理方式，确实存在私下协商的可能性，但这并不是唯一的选择，具体还需根据伤者的实际情况和需求来决定。

首先，伤者可以选择自己直接与保险公司进行协商。这种方式的优势在于直接沟通，伤者能够第一时间向保险公司反馈事故的具体经过以及自身的受伤情况，避免信息在传递过程中出现偏差。同时，伤者也可以直接了解赔偿的流程、所需准备的材料以及可能的赔偿金额，从而节省中间环节的时间。然而，这种方式也存在一些缺点。保险理赔涉及复杂的法律条款和规定，伤者可能并不熟悉保险合同的细则、赔偿范围以及理赔的具体流程，这可能导致在谈判过程中处于劣势。此外，面对经验丰富的保险公司理赔人员，伤者可能因缺乏谈判技巧和策略而难以争取到合理的赔偿。

另一种选择是委托专业律师或其他专业人士代为处理赔偿事宜。这种方式的优势在于专业性和经验性。律师或专业人士具备深厚的法律知识和实践经验，能够准确解读保险合同条款，清楚知道伤者应获得的合理赔偿范围和项目，从而为伤者争取到最大的利益。他们掌握有效的谈判策略和技巧，能够在与保险公司的谈判中据理力争，应对各种复杂情况，提高谈判的成功率。同时，他们还可以全权代理伤者处理繁琐的理赔事宜，包括收集证据、准备材料、与保险公司沟通等，让伤者能够安心养伤。当然，这种方式也存在一定的费用问题，但一些律师采用风险代理方式，即成功获得赔偿后才收取一定比例的代理费，这在一定程度上减轻了伤者的前期负担。

综上所述，伤者在出院后应根据自身实际情况和需求来选择与保险公司协商的方式。如果事故情况简单、赔偿金额明确且伤者对保险理赔知识有一定了解，那么自行协商可能是一个可行的选择。但如果事故复杂、涉及金额较大、双方对赔偿存在争议或伤者对相关法律法规不熟悉，那么建议委托专业律师或专业人士来维护自己的合法权益，确保获得应有的赔偿。