结论：上班20天没有签劳动合同被辞退，您有权要求公司支付未签订劳动合同期间的双倍工资差额，并可能获得违法解除劳动合同的赔偿金。以下是详细的分析和建议：

一、确认劳动关系及收集证据

1. 确认事实：

   • 尽管未签订书面劳动合同，但您与公司之间确实存在劳动关系。您可以通过工作证、服务证、考勤记录、同事证言等方式来证明这一点。

2. 收集证据材料：

   • 工资支付凭证：如银行工资流水明细，显示工资发放的主体和时间。
   • 工作证、服务证：上面通常会有公司的名称、标志以及您的姓名、职位等信息。
   • 招工招聘记录：如您填写的用人单位招工招聘“登记表”“报名表”等，这些表格一般会包含您的个人信息、应聘岗位、入职时间等内容。
   • 考勤记录：电子打卡记录、纸质签到表等，反映您的出勤情况和工作时间。
   • 同事证言：如果有同事愿意为您作证，他们的证言也可以作为辅助证据。

二、与公司协商沟通

1. 主动沟通：

   • 尝试与公司负责人或人力资源部门进行友好协商，了解被辞退的具体原因，并表达您对未签订劳动合同和被辞退的不满和诉求。

2. 提出合理要求：

   • 根据《劳动合同法》的规定，您可以要求公司补签劳动合同、支付未签订劳动合同期间的双倍工资差额（即从用工之日起满一个月的次日至实际用工之日，按您月工资的两倍计算，但您仅工作了20天，所以实际可主张的差额为月工资除以30天再乘以10天，假设月工资为X，则差额为X/30*10）、给予经济补偿（如果公司违法解除劳动合同，应按照经济补偿标准的二倍支付赔偿金，经济补偿按您在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向您支付，六个月以上不满一年的，按一年计算，不满六个月的，向您支付半个月工资的经济补偿，因此您可获得半个月工资作为经济补偿，赔偿金则为经济补偿的两倍，即一个月工资）。

三、申请劳动仲裁

1. 确定仲裁机构：

   • 劳动争议由劳动合同履行地或者用人单位所在地的劳动争议仲裁委员会管辖。您需要根据实际情况选择合适的仲裁机构。

2. 准备仲裁申请材料：

   • 仲裁申请书：写明申请人和被申请人的基本信息、仲裁请求事项和所根据的事实与理由、证据和证据来源、证人姓名和住所等内容。
   • 证据材料：将之前收集到的能够证明您与公司存在劳动关系以及公司违法行为的证据材料进行整理，并按照被申请人人数提交副本。

3. 参与仲裁程序：

   • 仲裁委员会受理申请后，会安排开庭审理。在庭审过程中，您要如实陈述事实，回答仲裁员的提问，并对对方提出的观点和证据进行质证和辩论。仲裁庭会根据双方提供的证据和相关法律规定作出裁决。

四、法律救济途径

1. 对仲裁结果不服的处理：

   • 如果对仲裁裁决不服，您可以在收到裁决书之日起十五日内向人民法院提起诉讼。在诉讼过程中，要继续收集和提供证据，支持自己的诉讼请求。

2. 寻求法律援助：

   • 如果您经济困难或其他符合法律援助条件的，可以向当地法律援助机构申请法律援助。法律援助机构会指派律师为您提供免费的法律服务，帮助您维护自己的合法权益。

五、相关法律依据

• 未签劳动合同的责任：《劳动合同法》第八十二条规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。
• 违法解除劳动合同的赔偿：《劳动合同法》第四十八条和第八十七条规定，用人单位违反本法规定解除或者终止劳动合同，应当依照本法第四十七条规定的经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。

建议：在处理此类纠纷时，建议您保持冷静和理性，按照上述步骤逐步进行。如有需要，您可以随时向我咨询，我会根据您的具体情况提供更详细的法律建议。