当您在没有取得《网络预约出租汽车驾驶员证》的情况下从事网约车经营服务，并被运管部门抓到时，您需要冷静应对，并遵循以下步骤来妥善处理这一法律问题：

一、明确法律后果

首先，您需要明确无证从事网约车经营服务是违法行为，将面临相应的行政处罚。根据《网络预约出租汽车经营服务管理暂行办法》，未取得经营许可擅自从事网约车经营活动的，将被责令改正、警告，并处以10000元以上30000元以下罚款；若情节严重，还可能面临暂扣车辆、吊销驾驶证等更严厉的处罚。

二、积极配合执法检查

在遭遇运管检查时，请保持冷静，积极出示您的驾驶证等相关证件，并配合执法人员的调查。抗拒执法将可能使您面临更严重的法律后果，包括治安管理处罚甚至刑事处罚。

三、了解处罚内容与依据

执法人员会指出您车辆涉嫌无证经营网约车的具体违法事实，并明确处罚依据。请您仔细阅读运管部门出具的《违法行为通知书》等执法文书，确认无误后签字签收。这些文书将详细记载违法事实、处罚依据及您享有的陈述、申辩和听证权利。

四、依法行使权利

1. 陈述和申辩：在规定时间内，您可以向运管部门提出陈述和申辩意见，说明您的个人情况或特殊原因。
2. 要求听证：若拟作出的处罚较重，您有权要求举行听证。请在规定期限内书面提出听证申请，行政机关将组织听证，您可以在听证会上充分陈述自己的意见和理由。

五、接受处罚或寻求法律救济

1. 接受处罚：如果您认为处罚决定合理合法，应在规定期限内缴纳罚款。逾期不缴将按日加处罚款，并可能面临更严重的法律后果。
2. 申请行政复议或提起行政诉讼：若您对处罚有异议，可在知道具体行政行为之日起60日内申请行政复议，或在6个月内提起行政诉讼。通过司法途径，您可以维护自己的合法权益。

六、后续整改与合法运营

1. 及时办理相关证件：包括《网络预约出租汽车运输证》和《网络预约出租汽车驾驶员证》等，确保您未来的运营活动合法合规。
2. 关注政策动态：密切关注网约车行业政策变化，确保您的运营行为始终符合法律法规要求。

七、取回被扣车辆

如果您的车辆被扣押，请按照运管部门的指示办理相关手续以取回车辆。这可能涉及支付一定的费用，但请确保您按照正规程序进行操作。

八、寻求专业法律援助

在整个过程中，如果您遇到复杂的法律问题或需要专业帮助，请及时寻求律师的法律援助。律师将为您提供专业的法律意见和帮助，确保您的权益得到充分保护。

总之，面对无证网约车被运管抓住的情况，您应积极配合执法、了解处罚依据、依法行使权利，并在必要时寻求法律救济。同时，也应以此为契机加强法规学习，确保未来运营的合法合规性。