结论前置：公安机关不予立案的法律依据主要来源于《中华人民共和国刑事诉讼法》及相关规定。具体来说，当公安机关认为没有犯罪事实、犯罪事实显著轻微不需追究刑事责任，或存在其他法定不予追究刑事责任的情形时，将不予立案，并需通知控告人不立案的原因。控告人不服可申请复议，被害人还可向人民检察院提出申诉。

详细分析：

1. 没有犯罪事实：

   • 法律依据：根据《中华人民共和国刑事诉讼法》第一百一十二条，公安机关对于报案、控告、举报和自首的材料，应迅速审查。若发现没有犯罪事实存在，即不构成犯罪，公安机关将不予立案。
   • 实例说明：例如，邻里之间因琐事发生轻微争吵，并未造成任何伤害或财产损失，也没有其他违法犯罪行为，这种情况下公安机关通常不会立案。

2. 犯罪事实显著轻微，不需要追究刑事责任：

   • 法律依据：同样依据《中华人民共和国刑事诉讼法》第十六条和第一百一十二条，即使存在犯罪事实，但若该事实情节显著轻微、危害不大，不认为是犯罪的，公安机关同样可以不予立案。
   • 实例说明：如盗窃案件中，嫌疑人盗窃的财物价值极低，远未达到盗窃罪的立案追诉标准，且没有其他严重情节，公安机关可能不予立案。

3. 其他法定不予追究刑事责任的情形：

   • 法律依据：《中华人民共和国刑事诉讼法》第十六条还列举了其他几种特定情形下，公安机关不应立案追究刑事责任的情况，包括：
     • 犯罪已过追诉时效期限；
     • 经特赦令免除刑罚；
     • 依照刑法告诉才处理的犯罪，没有告诉或者撤回告诉（如侮辱罪、诽谤罪等）；
     • 犯罪嫌疑人、被告人死亡；
     • 其他法律规定免予追究刑事责任的。
   • 实例说明：若某犯罪行为已超过法律规定的追诉时效期限，公安机关将不再立案追究；或者犯罪嫌疑人已死亡，公安机关也将不予立案。

4. 不予立案的程序与救济途径：

   • 程序规定：根据《公安机关办理刑事案件程序规定》第一百七十八条，公安机关决定不予立案的，应制作不予立案通知书，并在三日以内送达控告人。
   • 救济途径：控告人对不予立案决定不服的，可以申请复议。若被害人认为公安机关应当立案侦查而不立案，还可以向人民检察院提出申诉。人民检察院将要求公安机关说明不立案的理由，并根据情况通知公安机关立案。

建议与提醒：

• 若您遇到公安机关不予立案的情况，首先应要求公安机关出具书面的《不予立案通知书》，并详细了解不立案的具体原因。
• 如您认为公安机关的不立案决定有误，可在规定时间内向作出决定的公安机关申请复议。若复议结果仍不满意，还可向上一级公安机关或同级人民检察院提出复核或申诉。
• 在此过程中，建议您保留好相关证据材料，并咨询专业律师（即我本人）以获取更具体的法律意见和支持。我可以帮助您分析案件情况，准备复议或申诉材料，并代表您与公安机关或检察机关进行沟通。

希望以上解答能对您有所帮助。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。