当公司合同到期不续签时，员工有权根据具体情况要求公司支付经济补偿或赔偿金。以下是对此问题的详细分析：

一、法律规定与经济补偿

1. 一般情况：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十四条和第四十六条，劳动合同期满即终止。若公司决定不续签，且不属于维持或提高劳动合同约定条件而员工不同意续订的情形，公司应向员工支付经济补偿。
   • 经济补偿的计算方式为：按员工在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。这里的“月工资”指的是员工在劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资。

2. 特殊情况：

   • 若员工在公司连续工作满十年，或连续订立二次固定期限劳动合同且无法定过错，公司应续订无固定期限劳动合同。若公司未续订，则自应当订立之日起，需向员工每月支付二倍的工资作为赔偿金。

二、赔偿金情况

• 违法不续签：若公司无正当理由拒绝续签劳动合同，员工可要求公司继续履行合同。若不要求继续履行或劳动合同已无法继续履行，公司应按经济补偿标准的二倍向员工支付赔偿金。

三、应对措施与维权途径

1. 明确补偿权益：

   • 员工应首先评估自己的工作年限和合同情况，明确是否有权获得经济补偿或赔偿金。

2. 与公司协商：

   • 尝试与公司进行友好协商，了解不续签的具体原因，并争取更好的经济补偿或其他福利。

3. 申请劳动仲裁：

   • 若协商不成，员工可向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，要求公司支付经济补偿或赔偿金。申请仲裁的时效为争议发生之日起一年内。

4. 提起诉讼：

   • 对仲裁结果不服的，员工可向人民法院提起诉讼，通过司法途径进一步维权。

四、注意事项

1. 证据收集：

   • 在整个过程中，员工应妥善保存劳动合同、工资条、工作证、公司不续签通知等相关证据，以备维权时使用。

2. 遵守法定程序：

   • 无论是申请仲裁还是提起诉讼，员工都应严格遵守法定的程序和时间限制，以免影响自己的权益。

3. 办理离职手续：

   • 劳动合同到期不续签时，公司应向员工出具解除或终止劳动合同的证明，并在十五日内为员工办理档案和社会保险关系转移手续。员工也应按照双方约定办理工作交接，并留存交接清单作为证据。

举例说明： 假设员工A在公司工作了3年，月工资为5000元。若公司决定不续签劳动合同，且不属于维持或提高劳动合同约定条件而员工不同意续订的情形，则公司应向员工A支付3个月工资（即15000元）作为经济补偿。若公司无正当理由拒绝续签，员工A可要求公司支付6个月工资（即30000元）作为赔偿金。

总结与建议： 当劳动合同到期且公司不续签时，员工应充分了解自己的法律权益，采取适当的应对措施，并严格遵守法定程序。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。