赠品有问题，消费者确实有权要求赔偿。这一结论基于我国多部法律法规的规定，下面我将从不同角度为您详细分析：

一、法律依据与责任分析

1. 《中华人民共和国消费者权益保护法》

   • 该法明确规定，经营者向消费者提供的商品（包括赠品）应当符合质量要求，保障消费者的人身、财产安全。赠品作为商家促销活动的一部分，与消费者的购买行为紧密相关，商家需对赠品的质量负责。若赠品存在质量问题并导致消费者损害，商家需承担相应的赔偿责任。

2. 《中华人民共和国民法典》

   • 根据民法典的相关规定，赠与的财产有瑕疵的，赠与人通常不承担责任。但附义务的赠与中，赠与人在附义务的限度内承担与出卖人相同的责任。商家在提供赠品时，往往设定了购买指定商品或达到一定消费金额的条件，因此赠品应视为附义务的赠与。若赠品存在质量问题，商家需在附义务的限度内承担责任。
   • 此外，若赠与人（商家）故意不告知瑕疵或保证无瑕疵，而赠品实际存在瑕疵并导致损害，赠与人需承担赔偿责任。

3. 《最高人民法院关于审理网络消费纠纷案件适用法律若干问题的规定（一）》（针对网络消费）

   • 该规定明确指出，电子商务经营者提供的奖品、赠品等给消费者造成损害，不得以免费提供或换购为由主张免责。这意味着，在网络消费中，赠品质量问题同样受到法律保护，消费者有权要求赔偿。

二、赔偿范围与方式

1. 直接损失赔偿

   • 若赠品存在质量问题并给消费者造成人身或财产损害，消费者有权要求商家赔偿因赠品质量问题导致的直接损失，如医疗费、护理费、交通费等为治疗和康复支出的合理费用，以及因误工减少的收入等。

2. 补救措施

   • 若赠品本身存在质量问题但尚未造成实际损害，消费者可以要求商家采取更换合格赠品、对有问题的赠品进行维修等合理补救措施。

3. 必要费用承担

   • 因赠品质量问题产生的退货、更换、修理等必要费用，应由销售者承担。

三、维权途径

1. 与销售者沟通

   • 消费者应首先与销售者进行沟通，表达自己的诉求，尝试通过协商解决问题。这是最直接、最快捷的维权方式。

2. 向消费者协会投诉

   • 若商家拒绝承担责任，消费者可以向当地的消费者协会投诉，寻求第三方机构的帮助与支持。消费者协会会依法调解消费纠纷，保护消费者的合法权益。

3. 行政部门申诉

   • 消费者还可以向相关行政部门（如市场监督管理局）申诉，请求其介入调查并处理。行政部门有权对商家的违法行为进行查处，并维护市场秩序。

4. 法律途径

   • 仲裁：如果消费者与商家之间有仲裁协议，可以依据协议向仲裁机构申请仲裁，以解决赠品质量问题引发的纠纷。
   • 诉讼：当其他维权途径均无法解决问题时，消费者可以向人民法院提起诉讼，要求商家承担法律责任。法院将依法审理案件，并作出公正判决。

四、实例说明

以消费者在商场购物获赠洗发水为例，若因洗发水质量问题导致头皮严重过敏并产生医疗费用等损失，消费者可以依据上述法律规定，要求商场或洗发水的生产者承担相应赔偿责任。赔偿范围包括医疗费、护理费、误工费以及可能的精神损害抚慰金等。

总结与建议：赠品有问题时，消费者完全有权要求赔偿。为了维护自己的合法权益，消费者应保留好相关证据（如赠品照片、损害证明、购买凭证等），并依法通过协商、投诉、申诉或法律途径等要求商家承担责任。如果您在维权过程中遇到任何问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。