关于公司解除劳动关系的赔偿问题，这确实是一个涉及多方面法律规定的复杂议题。下面，我将根据不同情形，为您详细梳理公司解除劳动关系时所需承担的赔偿责任。

一、公司无需支付赔偿的情形

若劳动者存在以下过错，公司有权解除劳动合同且无需承担经济补偿：

1. 试用期间不符合录用条件：如果劳动者在试用期内未能达到公司设定的录用标准，公司可以解除劳动合同且无需赔偿。
2. 严重违反公司规章制度：劳动者若严重违反公司规章制度，公司有权解除劳动合同，并不承担赔偿责任。
3. 严重失职、营私舞弊，给公司造成重大损害：这种情况下，公司解除劳动合同是合法的，且无需支付赔偿。
4. 与其他公司建立劳动关系，对本单位工作造成严重影响或拒不改正：若劳动者同时与其他公司建立劳动关系，且对本单位工作造成严重影响或经公司提出后拒不改正，公司可以解除劳动合同。
5. 以欺诈、胁迫手段或乘人之危订立或变更劳动合同，导致合同无效：这种情况下，劳动合同自始无效，公司解除劳动合同无需赔偿。
6. 被依法追究刑事责任：劳动者若被依法追究刑事责任，公司有权解除劳动合同。

二、公司需支付经济补偿的情形及标准

在以下情形中，公司解除劳动合同应向劳动者支付经济补偿：

1. 双方协商一致解除：当用人单位提出并与劳动者协商一致解除劳动合同时，用人单位必须向劳动者支付经济补偿。补偿标准按劳动者在本单位工作的年限计算，每满一年支付一个月工资。例如，若劳动者在公司工作了3年，月工资为5000元，则经济补偿金为3×5000=15000元。工作时间超过半年但不满一年的，也按一年算；不满半年的，则支付半个月工资的经济补偿。月工资的计算依据是劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资。

2. 特定情形下解除：包括但不限于劳动者患病或非因工负伤后不能从事原工作或另行安排的工作、劳动者不能胜任工作且经培训或调整岗位后仍不能胜任、劳动合同订立时的客观情况发生重大变化导致合同无法履行且未能就变更内容达成协议等情形。经济补偿标准同样按工作年限计算，每满一年支付一个月工资。对于月工资高于当地上年度职工月平均工资三倍的劳动者，向其支付经济补偿的标准按职工月平均工资三倍的数额支付，最高不超过十二年。

3. 合同期满、公司裁员等特殊情况：在这些情况下，也有相应的补偿规定，具体数额和方式会根据实际情况有所不同。例如，劳动合同期满，除用人单位维持或提高条件续订而劳动者不同意的情况外，用人单位应支付经济补偿。

三、公司违法解除需支付赔偿金的情形

若公司违反《劳动合同法》规定解除或终止劳动合同，如无故解雇或在员工处于孕期、产期、哺乳期等不得解除的期间解除劳动关系，公司应依照上述经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。例如，若劳动者在公司工作2年，月工资4000元，正常经济补偿应为2×4000=8000元，违法解除时则需支付16000元的赔偿金。

四、额外注意事项

• 代通知金：若公司未提前一个月通知员工即解雇，还需额外支付一个月工资作为代通知金。
• 证据收集：在实际处理公司解除劳动关系补偿问题时，劳动者应注意收集相关证据（如劳动合同、工资条、工作证、考勤记录等）以维护自己的合法权益。
• 法律途径：若双方就补偿问题无法协商一致，劳动者可通过劳动仲裁或诉讼等法律途径解决。

综上所述，公司在解除劳动关系时，应根据具体情形判断是否需要支付经济补偿或赔偿金，并严格按照法律规定执行。这既有助于维护劳动者的合法权益，也能确保公司的合法运营和稳定发展。希望以上解答能对您有所帮助。