结论：员工在生病期间，公司是否可以解雇，需根据具体情况判断，在法定医疗期内，除特殊情形外，公司一般不得解雇员工；医疗期满后，若员工不能胜任工作，公司可依法解雇并支付经济补偿。以下是对此问题的详细分析：
一、法定医疗期内的规定
不可解雇原则：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十二条第三项规定，员工患病或者非因工负伤，在规定的医疗期内的，用人单位不得依据该法第四十条（无过失性辞退）和第四十一条（经济性裁员）的规定解除劳动合同。
- 医疗期是指员工因患病或非因工负伤停止工作治病休息，且在此期间内用人单位不得解除劳动合同的时限。具体时长根据员工在用人单位的工作年限来确定，最短为3个月，最长可达24个月。例如，实际工作年限十年以下，本单位工作年限五年以下为三个月；五年以上为六个月。
违法解雇的后果：
- 如果公司在员工生病医疗期内违法解雇员工，员工有权要求公司继续履行劳动合同。
- 员工不要求继续履行劳动合同或者劳动合同已经不能继续履行的，公司应当依照经济补偿标准的二倍向员工支付赔偿金。赔偿金的计算方式为：按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
二、医疗期满后的规定
- 可解雇情形：
- 若员工医疗期满后，不能从事原工作，也不能从事由用人单位另行安排的工作，公司需提前三十日以书面形式通知员工本人或者额外支付员工一个月工资后，才可以解除劳动合同。
- 在这种情况下，公司应当向员工支付经济补偿，计算方式与上述赔偿金相同，即按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。
三、特殊情形下的解雇
即使员工处于生病期间或医疗期内，若存在以下特殊情形，公司也可以依法解雇员工：
- 在试用期间被证明不符合录用条件的；
- 严重违反用人单位的规章制度的；
- 严重失职，营私舞弊，给用人单位造成重大损害的；
- 同时与其他用人单位建立劳动关系，对完成本单位的工作任务造成严重影响，或者经用人单位提出，拒不改正的；
- 因《劳动合同法》第二十六条第一款第一项规定的情形致使劳动合同无效的（即劳动者以欺诈、胁迫的手段或者乘人之危，使用人单位在违背真实意思的情况下订立或者变更劳动合同，致使劳动合同无效）；
- 被依法追究刑事责任的。
四、建议与总结
公司在处理员工生病期间的劳动关系时，务必谨慎行事，确保合法合规。在法定医疗期内，除非员工存在严重违纪等特定情形，否则公司不得解除劳动合同。医疗期外，若员工不能胜任工作或存在其他法定过错，公司也需按照法定程序进行解雇，并承担相应的法律责任。
若您遇到类似情况，或有任何关于劳动工伤、劳动仲裁的法律问题，都可以直接向我咨询，我会根据您的具体情况，给出专业且全面的法律建议。