结论：信用卡5000元逾期，确实存在被银行起诉的风险，但具体是否会被起诉，需结合逾期时间、催收情况、银行政策及持卡人还款态度等多方面因素综合判断。以下是对此问题的详细分析：
一、银行起诉的条件与可能性
逾期时间与催收次数：
- 一般来说，信用卡逾期超过90天，且银行至少进行了两次有效催收后，持卡人依然没有还款意愿和行动，银行起诉的可能性就会显著增加。
- 有的银行在连续三次郑重催款未果后，可能会向持卡人发起正式律师函通知，作为起诉前的最后警告。
银行政策与成本收益评估：
- 不同银行对信用卡逾期的处理政策可能有所不同。有些银行注重风险控制，对逾期欠款采取积极追讨措施，包括起诉；而有些银行则可能根据业务情况和成本效益综合考虑，对小额逾期采取相对温和的催收方式。
- 银行在决定是否起诉时，会综合考虑起诉成本与可能收回欠款之间的关系。若起诉所需耗费的人力、物力、时间成本较高，而追回5000元欠款及相关费用的收益相对有限，银行可能会优先选择其他更为经济有效的追讨方式。
二、持卡人还款态度的影响
- 如果持卡人逾期后积极与银行联系，说明逾期原因并表达还款意愿，银行可能会给予宽限期，通过协商还款等方式解决问题，降低起诉的可能性。
- 相反，若持卡人逃避催收、拒绝沟通或明确表示不愿还款，银行可能会认为缺乏还款诚意，从而更倾向于通过起诉追讨欠款。
三、法律后果与责任
民事责任：
- 一旦被起诉且持卡人败诉，不仅需要偿还本金5000元，还需承担逾期利息、违约金以及银行起诉所产生的合理费用（如诉讼费等）。
刑事责任（极端情况）：
- 如果持卡人以非法占有为目的，超过规定限额或者规定期限透支，并经发卡银行两次催收后超过3个月仍不归还，还可能被认定为恶意透支，涉嫌信用卡诈骗的犯罪行为。此时，银行有权依法追究其刑事责任。但需注意，这种情况较为极端，且需满足严格的法律条件。
四、建议与对策
- 积极沟通：为避免更严重的法律后果和经济负担，建议持卡人在信用卡逾期后尽快与银行沟通，表明还款意愿并尝试协商出可行的还款方案。
- 协商还款：如果确实无法一次性还清，可以与银行协商制定分期还款计划或寻求其他和解协议，以减轻还款压力并避免被起诉。
- 保护信用记录：无论欠款多少，持卡人都应重视个人信用记录的保护。信用卡逾期不还都会对个人的信用记录产生负面影响，影响未来申请贷款、信用卡或其他金融服务。
总结：信用卡5000元逾期虽非巨额欠款，但仍需高度重视并及时处理。通过与银行的积极沟通与协商，可以有效降低被起诉的风险并维护个人信用记录。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。