面对购房合同丢失且开发商已不存在的情况，确实会给您带来一定的困扰，但请放心，通过一系列系统且有条理的步骤，您仍有可能解决这一问题。以下是我为您精心整理的解决方案：

一、首要行动：收集购房相关证据

1. 付款凭证：请务必找到所有与购房相关的付款记录，包括银行转账记录、收据、发票等。这些文件是证明您与开发商之间交易及金额的关键证据。
2. 其他辅助文件：如入住通知书、物业费收据、房屋交付确认书等，这些文件虽然不直接证明购房合同的存在，但能间接证明您的购房事实及实际占有情况。

二、查询合同备份或相关记录

1. 不动产登记部门：携带您的有效身份证件及房屋相关证明，前往房屋所在地的不动产登记部门。他们可能保存有购房合同的副本或相关记录，您可以申请查询并复印。
2. 贷款银行：如果您是通过银行贷款购房的，那么银行很可能保存有购房合同的复印件。请联系您的贷款银行，请求他们提供这份文件。

三、联系开发商相关人员或清算组

1. 查找原工作人员：尝试通过留存联系方式、行业圈子、业主群等渠道，联系开发商的原工作人员。他们可能能提供关于购房合同的线索或帮助。
2. 联系清算组：如果开发商已经破产或注销，那么他们可能成立了清算组来处理后续事宜。您可以通过法院公告、破产管理人信息等渠道获取清算组的联系方式，并申请查阅和复印购房合同。

四、咨询相关部门或机构

1. 房地产管理部门：前往当地的房地产管理部门，了解他们对于这种情况的具体规定和要求。他们可能需要您提供一些特定文件或证据来核实购房情况。
2. 专业中介机构：如果您曾通过中介购房，那么中介机构可能保存有购房合同的相关记录或能提供有用的建议。请联系他们寻求帮助。

五、法律途径：必要时提起诉讼

如果上述途径均无法解决问题，那么您可能需要考虑通过法律途径来维护自己的权益。您可以向法院提起诉讼，请求确认您与开发商之间的房屋买卖合同关系。在诉讼过程中，您需要提供充分的证据来支持您的主张，如付款凭证、其他辅助文件、与开发商的沟通记录等。一旦法院作出确权判决，该判决将具有与购房合同同等的法律效力。

六、寻求专业法律帮助

在整个过程中，如果您遇到复杂的法律问题或需要更详细的建议，我强烈建议您咨询专业的房地产律师。他们能根据您的具体情况给出针对性建议，并协助您处理相关法律问题。

总结与建议

补办购房合同在开发商已不存在的情况下确实具有挑战性，但请保持耐心和积极的心态。通过收集证据、积极查询、联系相关部门或机构以及必要时采取法律途径，您仍有很大可能性解决这一问题。同时，我建议您在整个过程中保持与专业人士的沟通与合作，以确保您的权益得到充分保护。希望这些建议能对您有所帮助！