结论前置：刑事拘留后申请取保候审并没有固定的时间限制，能否取保主要取决于案件的具体情况、犯罪嫌疑人的个人情况以及法律程序的要求。从被刑拘到判决前的任何阶段，只要符合取保候审的条件，都可以提出申请。

一、取保候审的时间节点与程序

1. 侦查阶段：

   • 刑拘后，公安机关通常会在3天内向检察院提请批准逮捕，特殊情况可延长1至4日。对于流窜作案、多次作案、结伙作案的重大嫌疑分子，提请审查批准的时间可以延长至30日。
   • 在检察院作出批捕决定前，是申请取保候审的一个相对容易的时机。若检察院未批捕，公安机关可能会直接变更强制措施为取保候审。此阶段通常是在刑拘后的7天到37天内，但具体时间因案件而异。

2. 审查起诉阶段：

   • 案件移送至检察院后，犯罪嫌疑人及其法定代理人、近亲属或辩护人可以向检察院提出取保候审申请。
   • 检察院会根据案件情况进行审查，时间上没有明确界限，可能是移送审查起诉后的几天到几个月不等，取决于案件的复杂性和证据的收集情况。

3. 审判阶段：

   • 案件进入法院审理期间，被告人也有权申请取保候审。
   • 法院会结合案件审理进度、被告人的人身危险性等因素综合判断，决定是否准许取保候审。

二、取保候审的条件

根据《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条的规定，以下四种情形的犯罪嫌疑人、被告人可以申请取保候审：

1. 可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；
2. 可能判处有期徒刑以上刑罚，但采取取保候审不致发生社会危险性的；
3. 患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，且采取取保候审不致发生社会危险性的；
4. 羁押期限届满，案件尚未办结，需要继续采取强制措施的。

三、申请取保候审的注意事项

1. 及时申请：一旦符合取保候审的条件，应尽快向办案机关提出申请，以免错过最佳时机。
2. 提供充分材料：申请取保候审时，需要提供充分的证据和材料，证明犯罪嫌疑人符合取保候审的条件，如医疗证明、家庭情况说明等。
3. 遵守规定：在取保候审期间，犯罪嫌疑人需遵守相关规定，如不得离开所居住的市、县，不得干扰证人作证等。若违反规定，可能会被撤销取保候审并重新收监。
4. 保证措施：申请取保候审时，通常需要提供保证人或者交纳保证金，以确保犯罪嫌疑人能够随时接受司法机关的传唤和调查。

四、实际案例与建议

在实际操作中，取保候审的批准并非易事，需要综合考虑多种因素。例如，对于一起轻微的盗窃案件，如果犯罪嫌疑人系初犯、偶犯，且盗窃金额较小，同时具备悔罪表现，那么在其被刑拘后，家属或辩护人可以及时向办案机关提出取保候审申请，并附上相关证据和材料，以增加获批的可能性。

建议：如果你或你的亲友面临刑事拘留的情况，并希望申请取保候审，建议尽快咨询我，我会根据案件的具体情况，为你提供详细的法律建议和帮助，包括如何准备申请材料、如何与办案机关沟通等，以最大程度地维护你的合法权益。