结论：员工受伤请假期间，公司辞退员工的合法性需根据具体情况判断。在大多数情况下，若员工处于医疗期或停工留薪期内，公司辞退员工是违法的；但在特定情况下，如员工严重违反公司规章制度等，公司可能有权辞退。以下是对此问题的详细分析：
一、员工因工受伤的情况
停工留薪期内：
- 根据《工伤保险条例》第三十三条，员工在停工留薪期内原工资福利待遇不变，由所在单位按月支付。
- 同时，依据《中华人民共和国劳动合同法》第四十二条，劳动者在本单位患职业病或者因工负伤并被确认丧失或者部分丧失劳动能力的，用人单位不得依照本法第四十条、第四十一条的规定解除劳动合同。因此，在停工留薪期内，公司辞退员工是违法的。
停工留薪期外：
- 若员工停工留薪期满，且不能从事原工作，也不能从事由用人单位另行安排的工作，公司需提前三十日以书面形式通知员工本人或者额外支付员工一个月工资后，方可解除劳动合同，并需支付经济补偿。这种情况下，公司的辞退行为是合法的，但需遵循法定程序并支付经济补偿。
二、员工非因工受伤的情况
医疗期内：
- 根据《企业职工患病或非因工负伤医疗期的规定》，员工有权享受一定的医疗期（根据实际参加工作年限和在本单位工作年限，给予三个月到二十四个月的医疗期）。
- 在此期间，依据《中华人民共和国劳动合同法》第四十二条，公司同样不得解除劳动合同，否则构成违法辞退。因此，在医疗期内，公司辞退员工是违法的。
医疗期满后：
- 若员工医疗期满，且不能从事原工作，也不能从事由公司另行安排的工作，公司可依法解除劳动合同，但需提前通知并支付经济补偿。这种情况下，公司的辞退行为是合法的，但同样需遵循法定程序并支付经济补偿。
三、特殊情况
- 若员工受伤是因自身违反公司的安全操作规程等过错行为导致的，并且公司有明确的、依法制定并公示的规章制度规定这种情况下可以辞退员工，那么公司在承担严格举证责任的前提下，可以按照法定程序辞退员工。这种情况下，公司的辞退行为可能是合法的。
四、公司违法辞退可能承担的责任
如果公司违法辞退受伤请假的员工，员工可以采取以下措施维护自身权益：
- 要求继续履行劳动合同：员工有权要求公司恢复劳动关系，继续按照原劳动合同履行。
- 主张赔偿金：若员工不要求继续履行劳动合同或者劳动合同已经不能继续履行的，用人单位应当依照经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。经济补偿按劳动者在本单位工作的年限计算，具体为每满一年支付一个月工资的标准；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。
五、总结与建议
综上所述，员工受伤请假期间，公司辞退员工的合法性需综合考虑多种因素。为避免法律风险，建议公司在处理此类情况时务必谨慎，并严格遵守相关法律法规。同时，员工也应了解自身权益，必要时寻求法律援助以维护自身合法权益。如果您有具体的法律问题或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。