结论：员工私吞3000元，公司是否可以予以开除，需根据具体情况判断，但通常情况下，若该行为构成严重违反公司规章制度或严重失职、营私舞弊给公司造成重大损害，公司有权开除员工。
分析说明：
从规章制度角度：
- 公司通常会在其规章制度中明确规定员工的行为准则，包括禁止私吞公司财物等。若员工私吞3000元的行为明确违反了公司的规章制度，且该规章制度是合法、合理且经过民主程序制定的，同时员工在入职时或规章制度修订后已经知晓并同意遵守，那么公司有权依据规章制度对员工进行开除处理。
从劳动合同法角度：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，员工严重违反用人单位的规章制度的，或者严重失职、营私舞弊，给用人单位造成重大损害的，用人单位可以解除劳动合同。在此情况下，员工私吞3000元，若该行为被认定为严重失职或营私舞弊，且给公司造成了重大损害（具体损害程度需根据实际情况判断，但3000元对于许多公司来说可能构成一定的经济损失），则公司有权开除员工。
从实际损失与比例角度：
- 虽然3000元对于不同规模的公司来说，其影响程度可能不同。但对于一些小型企业或初创企业来说，3000元可能是一笔不小的开支，甚至可能影响到公司的正常运营。因此，在判断是否构成“重大损害”时，除了考虑绝对金额外，还需考虑该金额相对于公司规模、经营状况等因素的比例。
从程序合法性角度：
- 公司在开除员工前，应确保已经按照法律法规和公司规章制度的规定，履行了相应的程序，如调查取证、听取员工陈述申辩、经过工会或职工代表大会同意等。若公司未履行这些程序，即使员工确实存在私吞行为，公司也可能因程序违法而面临法律风险。
行动建议：
公司方面：
- 应立即展开调查，收集相关证据，如监控录像、财务记录、员工陈述等，以证明员工确实存在私吞行为。
- 审查公司的规章制度，确保该制度合法、合理且经过民主程序制定，同时员工已经知晓并同意遵守。
- 在决定开除员工前，应履行相应的程序，如听取员工陈述申辩、经过工会或职工代表大会同意等。
- 若决定开除员工，应出具书面的解除劳动合同通知书，并明确解除的理由和依据。
员工方面：
- 若员工认为公司的开除决定不合法或不合理，可以与公司进行协商，要求公司撤销开除决定或给予相应的补偿。
- 若协商无果，员工可以向当地的劳动争议仲裁委员会申请仲裁，要求裁决公司撤销开除决定或支付违法解除劳动合同的赔偿金。
法律后果：
- 若公司合法开除员工，则无需支付经济补偿金或赔偿金。
- 若公司违法开除员工，则可能面临支付经济补偿金或赔偿金的法律责任。具体金额需根据员工的工资水平、工作年限等因素计算。
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