当您发现劳动仲裁裁决存在错误且已经错过了相关期限时，纠正的方式确实会因裁决是否生效以及具体的法律情形而有所不同。以下是我为您详细梳理的纠正步骤和建议：

一、裁决未生效时的纠正

1. 补正申请

   • 适用情况：如果仲裁裁决中存在笔误、计算错误或遗漏了某些事项，您可以在发现错误后及时向仲裁庭提出补正申请。
   • 操作步骤：撰写补正申请书，明确指出裁决中的错误，并提供相关证据或说明。将申请书提交给仲裁庭，仲裁庭在审查后若确认错误存在，会作出补正裁决。

2. 提起诉讼

   • 法律依据：根据《劳动争议调解仲裁法》的相关规定，对于非终局裁决，用人单位或劳动者（在特定情况下）可以在收到仲裁裁决书之日起十五日内向有管辖权的基层人民法院提起诉讼；对于所有裁决，劳动者均有权提起诉讼。
   • 操作步骤：准备诉讼材料，包括起诉状、证据清单、相关证据等。在规定期限内提交给法院，并按照法院的指示参与后续的诉讼程序。

二、裁决已生效时的纠正

1. 申请撤销裁决

   • 法律依据：根据《劳动争议调解仲裁法》第四十九条，如果终局裁决存在法定撤销情形（如适用法律错误、无管辖权、违反法定程序等），您可以在收到仲裁裁决书之日起三十日内向劳动争议仲裁委员会所在地的中级人民法院申请撤销裁决。
   • 操作步骤：撰写撤销裁决申请书，详细阐述撤销的理由和依据，并提供相关证据。将申请书提交给中级人民法院，并按照法院的指示参与后续的审查程序。

2. 申请不予执行

   • 适用情况：如果被执行人能提出证据证明仲裁裁决存在法定不予执行情形（如没有仲裁条款、裁决事项超出仲裁协议范围等），可以在执行程序中向执行法院申请不予执行该仲裁裁决。
   • 操作步骤：在执行阶段，准备不予执行申请书及相关证据，提交给执行法院。法院将审查申请，并根据情况作出是否不予执行的裁定。

3. 审判监督程序

   • 适用情况：如果仲裁裁决在后续司法审查中被发现确有错误，法院可能依职权启动审判监督程序进行纠错。但这种情况相对较少，且通常需要较为充分的证据和理由。

三、其他重要建议

1. 了解劳动仲裁裁决的终局性：根据《劳动争议调解仲裁法》第四十七条，某些特定类型的劳动争议仲裁裁决为终局裁决，自作出之日起发生法律效力。对于这些争议，除非法律另有规定，否则当事人不能向人民法院提起诉讼。因此，在申请纠正前，请务必确认裁决的性质和终局性。

2. 充分准备证据：无论是通过哪种途径纠正仲裁错误，都需要充分准备证据来支持自己的主张。证据应真实、合法、有效，并能够清晰地证明仲裁裁决存在错误之处。

3. 寻求专业法律帮助：劳动仲裁和诉讼程序相对复杂，涉及的法律条文和程序要求也较多。因此，我建议您在纠正过程中寻求专业律师的帮助。律师能够提供专业的法律意见，帮助您分析案情、评估诉讼风险、制定诉讼策略，并协助您收集证据、准备起诉材料、代表出庭应诉等。

希望以上解答能够帮助您更好地理解和处理劳动仲裁错误纠正的问题。如果您还有其他疑问或需要进一步的帮助，请随时告诉我。