结论：被宣告死亡的人在被宣告死亡期间，其子女作为法定继承人，是有权继承其遗产的。但具体继承情况还需考虑是否存在遗嘱、遗赠扶养协议以及宣告死亡判决是否被撤销等因素。

详细分析：

1. 宣告死亡的法律后果：

   • 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，自然人被宣告死亡的，人民法院宣告死亡的判决作出之日视为其死亡的日期。这一规定在法律上产生了与自然死亡相同的后果，即被宣告死亡的人的民事主体资格消灭，其民事权利能力和民事行为能力也随之终止。
   • 在此情况下，被宣告死亡的人的遗产将开始继承。子女作为法定继承人，有权按照法定继承顺序继承遗产。

2. 继承方式与顺序：

   • 继承开始后，遗产的处理首先遵循遗赠扶养协议，若存在则按照协议办理；其次，若存在合法有效的遗嘱，则按照遗嘱继承或遗赠办理；最后，若没有遗赠扶养协议和遗嘱，则按照法定继承顺序处理。
   • 在法定继承中，子女作为第一顺序继承人，有权继承被宣告死亡父母的遗产。如果子女先于被宣告死亡的人死亡，那么子女的直系晚辈血亲（如孙子女、外孙子女）可以代位继承。

3. 特殊情况处理：

   • 宣告死亡判决被撤销：如果被宣告死亡的人重新出现，并经本人或利害关系人申请，人民法院撤销了死亡宣告，那么被撤销死亡宣告的人有权请求依照民法典继承编取得其财产的民事主体返还财产。若财产无法返还，则应给予适当补偿。例如，若子女已经继承了父母的遗产并进行了处分，后来父母重新出现并撤销了死亡宣告，此时父母有权要求子女就处分遗产所得款项给予适当补偿。
   • 继承人资格丧失：如果子女因放弃继承权或违法行为而丧失了继承资格，那么他们将无法继承遗产。这种情况下，遗产将按照法定继承顺序由其他符合条件的继承人继承。

法律建议：

• 在处理被宣告死亡人的遗产继承问题时，建议首先确认宣告死亡判决是否已被撤销，以及是否存在有效的遗嘱或遗赠扶养协议。
• 如果存在多个继承人，建议通过协商或诉讼等方式明确各自的继承份额和继承方式，以避免不必要的纠纷。
• 如果遇到复杂的遗产继承问题，如涉及特殊财产、多个继承人或继承权争议等，建议及时咨询专业律师以获取更具体的法律意见和帮助。

举例说明：

假设甲下落不明满法定期限后被法院宣告死亡，甲的子女乙和丙作为法定继承人，有权继承甲的遗产。如果甲生前立有遗嘱，指定将部分遗产赠与好友丁，那么乙和丙只能继承遗嘱中未指定的部分遗产。如果后来甲重新出现并撤销了死亡宣告，那么甲有权请求乙和丙返还已继承的遗产；若遗产已被处分无法返还，则乙和丙应给予甲适当补偿。