关于工厂开除员工的赔偿问题，这确实是一个涉及劳动者权益的重要议题，需要依据《中华人民共和国劳动合同法》及相关法律法规来详细解答。以下是我为您整理的清晰、详细且有深度的解答：

一、无需支付赔偿的情形

如果员工存在以下过错，工厂依据法律规定解除劳动合同的，是无需支付任何赔偿的：

1. 试用期间不符合录用条件：但工厂需要提供充分的证据，比如招聘时的录用标准以及员工未达到这些标准的具体表现。
2. 严重违反规章制度：工厂的规章制度必须合法制定，并且已经公示或告知员工。例如，员工多次旷工或严重违反操作流程等。
3. 严重失职、营私舞弊：给工厂造成重大损害，这里的损害程度需要以工厂的规章制度或行业惯例为准。
4. 双重劳动关系影响工作：员工同时与其他用人单位建立劳动关系，且对完成本厂工作任务造成严重影响，或者经工厂提醒后拒不改正。
5. 劳动合同无效：因员工欺诈、胁迫等手段使工厂在违背真实意思的情况下订立或变更劳动合同。
6. 被依法追究刑事责任：员工因犯罪被人民法院判处刑罚。

二、需支付经济补偿的情形

在以下情形下，工厂需要提前三十日以书面形式通知员工，或者额外支付一个月工资后，方可解除劳动合同，并向员工支付经济补偿：

1. 患病或非因工负伤：员工在规定的医疗期满后不能从事原工作，也不能从事工厂另行安排的工作。
2. 不能胜任工作：经过培训或调整工作岗位后，员工仍不能胜任工作。
3. 客观情况发生重大变化：如工厂搬迁、被兼并等，导致劳动合同无法履行，且双方未能就变更合同内容达成协议。
4. 经济性裁员：符合《劳动合同法》第四十一条规定的情形，如工厂经营发生严重困难等。

经济补偿的计算方法：

• 员工每工作一年，工厂需支付一个月工资作为补偿。
• 工作年限不满六个月的，按半个月工资计算。
• 若员工月工资高于当地上年度职工月平均工资的三倍，经济补偿金按当地月平均工资三倍的数额支付，且最高不超过十二年。

三、违法解除需支付赔偿金的情形

如果工厂违反《劳动合同法》规定解除或终止劳动合同，比如无故辞退员工，或者在员工处于特殊保护期间（如孕期、产期、哺乳期）解除劳动合同，工厂应依照上述经济补偿标准的二倍向员工支付赔偿金。

四、其他注意事项

1. 代通知金：在某些情况下，如果工厂未提前三十日以书面形式通知员工本人就解除劳动合同，可能需要额外支付员工一个月工资作为代通知金。但这并不属于赔偿金的范畴，而是对未提前通知的一种补偿。
2. 维权途径：如果员工认为工厂的辞退行为不合法或赔偿不合理，可以向当地的劳动争议仲裁委员会申请仲裁，或者直接向人民法院提起诉讼来维护自己的合法权益。

综上所述，工厂开除员工的赔偿问题需要根据具体情况和法律规定来判断。工厂应严格遵守相关法律法规，确保在解除劳动合同时做到合法、合规，避免不必要的法律纠纷。同时，员工也应了解自己的权益，如认为工厂存在违法解除行为，可依法维护自己的合法权益。