结论前置：针对您上班20天没有签劳动合同被辞退的情况，您有权要求公司支付未签订劳动合同期间的双倍工资差额，并可能获得经济补偿。以下是详细的分析和建议：

一、确认劳动关系及收集证据

1. 确认事实：

   • 尽管您未与公司签订书面劳动合同，但您与公司之间确实存在劳动关系。您可以通过其他方式证明这一点，如工作证、服务证、考勤记录、同事证言等。

2. 收集证据材料：

   • 工资支付凭证：如银行工资流水明细，显示工资发放的主体和时间。
   • 工作证、服务证：这些证件上通常会有公司的名称、标志以及您的姓名、职位等信息。
   • 招工招聘记录：如您填写的用人单位招工招聘“登记表”“报名表”等，这些表格一般会包含您的个人信息、应聘岗位、入职时间等内容。
   • 考勤记录：电子打卡记录、纸质签到表等，反映您的出勤情况和工作时间。
   • 同事证言：如果有同事愿意为您作证，证明您在公司工作的情况，他们的证言也可以作为辅助证据。

二、与公司协商沟通

1. 主动沟通：

   • 尝试与公司负责人或人力资源部门进行友好协商，了解被辞退的具体原因，并表达您对未签订劳动合同和被辞退的不满和诉求。

2. 提出合理要求：

   • 根据《劳动合同法》的规定，您可以向公司提出补签劳动合同、支付未签订劳动合同期间的双倍工资差额、给予经济补偿等合理要求。具体来说，公司应自用工之日起一个月内与您签订书面劳动合同，超过一个月未签订的，应向您每月支付二倍的工资。同时，由于公司违法解除劳动合同，还应按照经济补偿标准的二倍向您支付赔偿金。

三、申请劳动仲裁

1. 确定仲裁机构：

   • 劳动争议由劳动合同履行地或者用人单位所在地的劳动争议仲裁委员会管辖。您需要根据实际情况选择合适的仲裁机构，并向该机构提交仲裁申请。

2. 准备仲裁申请材料：

   • 仲裁申请书：应写明申请人和被申请人的基本信息、仲裁请求事项和所根据的事实与理由、证据和证据来源、证人姓名和住所等内容。
   • 证据材料：将之前收集到的能够证明您与公司存在劳动关系以及公司违法行为的证据材料进行整理，并按照被申请人人数提交副本。

3. 参与仲裁程序：

   • 仲裁委员会受理申请后，会安排开庭审理。在庭审过程中，您要如实陈述事实，回答仲裁员的提问，并对对方提出的观点和证据进行质证和辩论。仲裁庭会根据双方提供的证据和相关法律规定作出裁决。

四、法律救济途径

1. 对仲裁结果不服的处理：

   • 如果对仲裁裁决不服，您可以在收到裁决书之日起十五日内向人民法院提起诉讼。在诉讼过程中，要继续收集和提供证据，支持自己的诉讼请求。

2. 寻求法律援助：

   • 如果您经济困难或其他符合法律援助条件的，可以向当地法律援助机构申请法律援助。法律援助机构会指派律师为您提供免费的法律服务，帮助您维护自己的合法权益。

五、相关法律依据及计算

1. 未签劳动合同的责任：

   • 根据《劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。因此，您有权要求公司支付您上班第2个月（即超过1个月未签合同的部分）的双倍工资差额，计算公式为：双倍工资差额 = 月工资 × 1（个月）（假设您工作未满2个月，则按实际未签合同的天数折算，但此处为简化说明，按1个月计算）。

2. 违法解除劳动合同的赔偿：

   • 根据《劳动合同法》第四十七条和第八十七条，用人单位违法解除劳动合同的，应当依照经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。因此，您有权要求公司支付您半个月工资作为经济补偿的两倍，即赔偿金 = 月工资 × 0.5（个月） × 2 = 月工资 × 1（个月）（但考虑到您工作未满半年，实际赔偿可能按半个月工资的两倍计算，即1个月工资，此处为说明法律条款，按最不利情况即半个月工资的两倍表述，实际应争取最大权益）。不过，由于您工作仅20天，具体赔偿可能需根据实际情况和仲裁或法院的裁决来确定，但您至少有权要求公司支付未签合同的双倍工资差额。

最后建议：我理解您现在可能感到困惑和不安，但请放心，法律会保护您的合法权益。如果您在处理过程中遇到任何困难或疑问，可以直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供更详细的法律建议和帮助。