赠品有问题时，消费者确实有权要求赔偿。这一结论基于我国多部法律法规的规定，下面我将从不同角度为您详细分析：
一、法律依据与责任分析
《中华人民共和国消费者权益保护法》：
- 该法明确规定，经营者向消费者提供的商品（包括赠品）应当符合质量要求，保障消费者的合法权益。赠品作为商家促销活动的一部分，与消费者的购买行为紧密相关，商家需对赠品的质量负责。若赠品存在质量问题，商家需承担相应的法律责任。
《中华人民共和国民法典》：
- 根据民法典的相关规定，赠与的财产有瑕疵时，若赠与人故意不告知瑕疵或保证无瑕疵，造成受赠人损失的，应当承担赔偿责任。在附义务的赠与中，赠与人在附义务的限度内承担与出卖人相同的责任。这意味着，如果赠品是附条件的（如购买指定商品或达到一定消费金额），商家需对赠品的质量承担与销售商品相同的责任。
《最高人民法院关于审理网络消费纠纷案件适用法律若干问题的规定（一）》（如涉及网商）：
- 该规定明确指出，电子商务经营者提供的奖品、赠品等给消费者造成损害的，不得以免费提供或换购为由主张免责。这进一步强化了商家对赠品质量的责任。
二、赔偿范围与方式
直接损失赔偿：
- 若赠品存在质量问题并给消费者造成人身或财产损害，消费者有权要求商家赔偿因赠品质量问题导致的直接损失，如医疗费、护理费、交通费等为治疗和康复支出的合理费用，以及因误工减少的收入等。
补救措施：
- 若赠品本身存在质量问题但尚未造成实际损害，消费者可以要求商家采取更换合格赠品、对有问题的赠品进行维修等合理补救措施。
必要费用承担：
- 因赠品质量问题产生的退货、更换、修理等必要费用，应由销售者承担。
三、具体情境下的责任分析
赠品为纯粹赠与（无附加义务）：
- 一般情况下，若赠品是纯粹赠与且无附加条件，商家未故意隐瞒瑕疵或保证无瑕疵，则通常不承担责任。但特殊情况下，如商家故意隐瞒赠品质量问题或明确保证无瑕疵而实际存在瑕疵，并导致消费者损失，商家应承担赔偿责任。
赠品为附义务的赠与：
- 赠品与消费者购买行为相关联时，视为附义务的赠与。若赠品有质量问题，商家应在附义务的限度内承担与出卖人相同的责任，包括修理、更换、退货等。若因赠品质量问题给消费者造成其他损失，消费者有权要求商家赔偿相应损失。
四、维权途径
与销售者沟通：
- 首先，消费者应与销售者进行沟通，表达自己的诉求，尝试通过协商解决问题。
向消费者协会投诉：
- 若商家拒绝承担责任，消费者可以向当地的消费者协会投诉，寻求第三方机构的帮助与支持。
行政部门申诉：
- 消费者还可以向相关行政部门（如市场监督管理局）申诉，请求其介入调查并处理。
法律途径：
- 仲裁：如果消费者与商家之间有仲裁协议，可以依据协议向仲裁机构申请仲裁，以解决赠品质量问题引发的纠纷。
- 诉讼：当其他维权途径均无法解决问题时，消费者可以向人民法院提起诉讼，要求商家承担法律责任。
实例说明：假设您在商场购物时获赠了一瓶洗发水，使用后因洗发水质量问题导致头皮严重过敏并产生了医疗费用等损失。根据上述法律规定，您有权要求商场或洗发水的生产者承担相应赔偿责任，包括但不限于医疗费、护理费、误工费以及可能的精神损害抚慰金等。
综上所述，赠品有问题时，消费者完全有权要求赔偿，并通过合法途径维护自己的权益。如果您在维权过程中遇到任何问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。