结论：被客户投诉后公司开除员工是否需要按劳动法赔偿，这取决于公司开除员工的理由是否合法以及是否符合法定程序。以下从不同角度进行分析：

一、合法解除劳动合同的情况

1. 员工存在过错：

   • 如果员工因严重违反公司规章制度、严重失职或营私舞弊给公司造成重大损害等情形被开除，且公司能够提供充分证据证明员工的过错行为，那么公司无需支付赔偿金。
   • 法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条，劳动者有下列情形之一的，用人单位可以解除劳动合同：…（二）严重违反用人单位的规章制度的；（三）严重失职，营私舞弊，给用人单位造成重大损害的；…。

2. 公司合法程序解除：

   • 即使员工存在过错，公司也需按照法定程序进行解除，如提前通知员工、听取员工申辩、告知解除理由等。若公司未遵循法定程序，可能构成违法解除，需支付赔偿金。

二、违法解除劳动合同的情况

1. 无合法理由开除：

   • 如果公司仅因客户投诉而无其他合法理由开除员工，且无法证明员工存在过错或违反公司规章制度，那么公司的行为可能构成违法解除。
   • 法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十八条，用人单位违反本法规定解除或者终止劳动合同，劳动者要求继续履行劳动合同的，用人单位应当继续履行；劳动者不要求继续履行劳动合同或者劳动合同已经不能继续履行的，用人单位应当依照本法第八十七条规定支付赔偿金。

2. 赔偿金计算：

   • 赔偿金按照经济补偿标准的二倍计算。经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
   • 计算公式：赔偿金 = 经济补偿 × 2 = （工作年限 × 月工资）× 2（其中，月工资是指劳动者在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资）。

三、建议与注意事项

1. 收集证据：

   • 员工应收集与公司解除劳动合同相关的证据，如解除劳动合同通知书、公司规章制度、员工手册、工作记录、客户投诉材料等，以证明公司解除劳动合同的合法性或违法性。

2. 协商与调解：

   • 在发生争议时，员工可以尝试与公司进行协商或寻求工会、劳动争议调解组织的帮助，以达成和解协议。

3. 申请劳动仲裁：

   • 如果协商无果，员工可以向当地劳动争议仲裁委员会申请劳动仲裁，要求公司支付赔偿金或继续履行劳动合同。

4. 寻求法律援助：

   • 在劳动仲裁过程中，员工可以寻求法律援助或咨询专业律师，以更好地维护自己的合法权益。

总结：被客户投诉后公司开除员工是否需要按劳动法赔偿，取决于公司开除员工的理由是否合法以及是否符合法定程序。员工应了解自己的权益和法律程序，积极收集证据并寻求法律援助或咨询专业律师，以维护自己的合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。