被起诉后，对方（原告）在一般情况下是有权撤诉的，但是否准许撤诉，需由人民法院根据具体情况进行裁定。以下是从不同诉讼类型角度对这一问题的详细分析：
一、民事诉讼中的撤诉
权利行使：
- 在民事诉讼中，原告有权在法院宣判前申请撤诉。这是原告对自己诉讼权利的一种处分行为，体现了诉讼的自愿原则。
审查与裁定：
- 法院会对原告的撤诉申请进行审查，以确保撤诉不会损害国家利益、社会公共利益，也不违反法律的禁止性规定。
- 如果撤诉申请是原告真实意思表示，且符合上述条件，法院通常会裁定准许撤诉。一旦法院裁定准许撤诉，诉讼程序即终结。
特殊情形：
- 在某些特殊情形下，如原告撤诉会损害国家、集体或他人合法权益，或者撤诉行为存在规避法律等不当目的，法院可能会裁定不准许撤诉。
- 另外，如果被告提出了反诉，并且反诉是独立于原诉存在的，那么即使原告撤诉，反诉程序仍将继续进行，不受影响。
二、刑事诉讼中的撤诉（实为撤回起诉）
自诉案件：
- 对于自诉案件，自诉人在法院宣告判决前，有权与被告自行和解或撤回自诉。这体现了自诉案件当事人对诉讼权利的较大自主权。
公诉案件：
- 公诉案件的情况相对复杂。一旦公安机关立案侦查、检察院提起公诉后，通常由公诉机关（检察院）代表国家行使追诉权。
- 犯罪嫌疑人、被害人一般不能随意撤诉。但在符合法定条件时，如犯罪情节轻微依照刑法规定不需要判处刑罚或者免除刑罚的，检察院可以决定不起诉（这可视为一种广义的“撤诉”）。
三、行政诉讼中的撤诉
申请撤诉的条件：
- 原告可在法院立案后宣判前申请撤诉。
- 需满足“合法自愿”原则，即撤诉申请必须是原告真实意思表示，且不得规避法律或损害他人权益。
法院对撤诉申请的审查：
- 法院会重点审查撤诉是否损害国家利益、公共利益及他人合法权益。
- 如果存在违法行为或撤诉可能损害他人权益，法院可不准许撤诉。
撤诉的法律后果：
- 经法院裁定准许后诉讼终结。
- 案件受理费减半收取，由原告承担。
四、撤诉的法律后果与注意事项
法律后果：
- 撤诉可能被视为原告放弃了自己的诉讼权利。在某些情况下，一旦撤诉获得准许，原告之后可能无法再次就同一事由向法院提起诉讼。
- 案件受理费通常由原告负担，撤诉后一般减半收取。
注意事项：
- 在决定是否撤诉之前，原告应深思熟虑，并充分了解相关法律规定和可能面临的后果。
- 撤诉前建议与被告进行沟通，确保撤诉不会损害被告的合法权益，以避免可能的纠纷。
- 最终能否撤诉，还需由法院根据案件具体情况和法律规定作出决定。因此，在申请撤诉前，应充分了解相关法律规定和法院的裁判标准。
总结来说，被起诉后对方（原告）有权申请撤诉，但是否准许撤诉需由法院根据具体情况进行裁定。在撤诉前，原告应充分了解相关法律规定和可能面临的后果，并谨慎作出决策。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。