遛狗不牵绳的行为违法，其管理主要涉及公安机关，同时城市管理部门、动物卫生监督机构等行政部门也会根据各自职责进行辅助管理。以下是对这一问题的详细分析：

1. 公安机关的管理责任：

   • 主要职责：公安机关是养狗不牵绳行为的主要管理部门。依据《中华人民共和国治安管理处罚法》，对于饲养动物干扰他人正常生活、造成恐吓或伤害他人的行为，公安机关有权进行处罚。具体处罚措施包括警告、罚款（通常在200元至500元之间，具体数额可能因地区而异），甚至更严厉的治安处罚。
   • 法律依据：《中华人民共和国治安管理处罚法》明确规定，饲养动物干扰他人正常生活的，处警告；警告后不改正的，或者放任动物恐吓他人的，将处以罚款。若驱使动物伤害他人，则依照更严厉的规定处罚。

2. 城市管理部门的辅助作用：

   • 职责范围：城市管理部门（如综合执法局）主要负责城市市容和环境卫生的综合管理。当遛狗不牵绳导致狗随地大小便等影响环境卫生的情况时，城市管理部门有权依据相关管理规定进行处理，如要求清理、罚款等。
   • 法律依据：《城市市容和环境卫生管理条例》规定公民有维护城市市容和环境卫生的义务，对于违反规定影响环境卫生的行为，城市管理部门可依法进行管理和处罚。

3. 动物卫生监督机构的监管职责：

   • 主要职责：动物卫生监督机构负责动物防疫及相关监督管理工作。如果遛狗不牵绳且犬只未按规定进行免疫接种，可能对公共卫生安全构成威胁，此时动物卫生监督机构可以依法进行处理，如责令改正、给予警告，并可处以相应罚款。
   • 法律依据：《中华人民共和国动物防疫法》要求饲养犬只应按规定定期进行狂犬病免疫接种，并携带犬只出户时应采取系犬绳等措施。违反规定的，动物卫生监督机构可依法进行处罚。

4. 其他相关方的责任：

   • 物业与居委会：在小区内，物业和居委会也承担一定的管理责任。物业可以通过监控、巡逻发现违规行为，及时劝阻并上报；居委会则可以组织宣传教育活动，调解因养犬引发的邻里纠纷。
   • 普通居民：作为城市的一份子，普通居民也有权对遛狗不牵绳的行为进行监督和举报。可以选择报警，由警方依法处理；也可以拨打12345市民热线进行反映，以便相关部门及时介入处理。

总结与建议： 遛狗不牵绳的行为不仅违反了法律法规，也影响了城市公共秩序和居民的生活质量。因此，建议养犬人士在遛狗时务必牵绳，并遵守相关法律法规和规定。同时，各相关管理部门也应依据各自职责加强监管和处罚力度，共同营造文明、和谐的城市环境。如果您遇到遛狗不牵绳等违法行为，可以直接向我咨询相关法律问题，我会为您提供专业的法律建议。