关于羁押必要性审查的申请时机，这确实是一个涉及刑事诉讼程序的重要问题。根据《人民检察院办理羁押必要性审查案件规定(试行)》及相关法律规定，以下是我为您详细解答的内容：
一、申请羁押必要性审查的基本时机
犯罪嫌疑人、被告人及其法定代理人、近亲属、辩护人可以在犯罪嫌疑人、被告人被逮捕后的任何阶段，向办案机关对应的同级人民检察院刑事执行检察部门提出羁押必要性审查的申请。这意味着，从被逮捕开始，直到案件判决前，只要认为有不需要继续羁押的情形，都可以提出申请。
二、更具体的申请时机建议
案件证据或事实发生重大变化时：如果案件证据出现重大变化，或者案件事实、情节发生变化，使得犯罪嫌疑人、被告人可能被判处较轻的刑罚或无罪，此时是提出申请的好时机。因为根据规定，这种情况下人民检察院应当向办案机关提出释放或者变更强制措施的建议。
羁押期限可能超过依法可能判处的刑期时：如果继续羁押犯罪嫌疑人、被告人，其羁押期限将超过依法可能判处的刑期，这也是提出申请的重要时机。因为法律规定，这种情况下人民检察院也应当提出释放或者变更强制措施的建议。
案件事实基本查清，证据已经收集固定时：当案件事实基本查清，证据已经收集固定，且犯罪嫌疑人、被告人符合取保候审或者监视居住条件时，同样可以提出申请。因为此时继续羁押的必要性已经大大降低。
犯罪嫌疑人、被告人具有悔罪表现且不予羁押不致发生社会危险性时：如果犯罪嫌疑人、被告人具有悔罪表现，且不予羁押不会对社会造成危险性，如属于预备犯、中止犯、从犯、胁从犯、过失犯罪等情形，也可以提出申请。因为法律规定，这种情况下人民检察院可以向办案机关提出释放或者变更强制措施的建议。
三、申请时的注意事项
说明不需要继续羁押的理由：在提出申请时，应当详细说明不需要继续羁押的理由，并尽可能提供相关的证明材料。
遵循法定程序：申请应当向办案机关对应的同级人民检察院刑事执行检察部门提出，并遵循法定的受理、立案、审查等程序。
关注审查结果：提出申请后，应当关注人民检察院的审查结果。如果人民检察院认为无继续羁押必要的，会向办案机关发出释放或者变更强制措施建议书；如果认为有继续羁押必要的，则会结案并通知办案机关。
综上所述，羁押必要性审查的申请时机是灵活的，但关键在于根据案件的具体情况和法律规定来判断。如果您或您的亲友面临此类情况，建议及时咨询专业律师或向人民检察院刑事执行检察部门了解具体程序和要求。