结论前置：当您与用人单位连续签订两次固定期限劳动合同后，若第三次劳动合同期满时单位不续签，且您不存在《劳动合同法》第三十九条和第四十条第一项、第二项规定的情形，那么单位的行为可能构成违法终止劳动合同。您有权要求单位签订无固定期限劳动合同或获得相应的经济补偿。
法律背景与规定
无固定期限劳动合同的订立：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第十四条第二款，连续订立二次固定期限劳动合同，且劳动者没有本法第三十九条（如严重违反规章制度）和第四十条第一项（如患病或非因工负伤不能胜任工作）、第二项（如不能胜任工作经培训或调整仍不能胜任）规定的情形，续订劳动合同的，除劳动者提出订立固定期限劳动合同外，应当订立无固定期限劳动合同。
经济补偿的支付：
- 若单位在第三次劳动合同期满时拒绝续签，且无正当理由，根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十六条和第四十七条，单位应按您在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向您支付经济补偿。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。
- 计算公式：经济补偿 = 工作年限 × 月平均工资（月平均工资为劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资，且上限为当地社平工资三倍）。
您的权利及应对措施
要求签订无固定期限劳动合同：
- 若您符合法定条件，即连续签订两次固定期限劳动合同且不存在法定解除情形，您有权要求单位与您签订无固定期限劳动合同。若单位拒绝，您可向当地劳动监察部门投诉，责令单位改正。
主张经济补偿：
- 若单位不续签合同且无正当理由，您可通过劳动仲裁主张经济补偿。在仲裁过程中，您需要提供劳动合同、工资单等证据来证明您的工作年限和工资水平。
- 额外支付：如果单位未提前三十天通知您不续签，您还可要求单位额外支付一个月工资作为代通知金。
维权途径：
- 协商：首先尝试与单位协商，争取续签合同或合理补偿。
- 投诉：若协商无果，可向当地劳动监察部门投诉，并提供相关证据。
- 仲裁/诉讼：作为最终手段，您可提起劳动仲裁或诉讼，维护自身权益。在此过程中，保留好沟通记录、合同等关键证据至关重要。
可能的法律后果
- 单位违法不续签：若单位在无合法理由的情况下拒绝续签第三次劳动合同，则属于违法终止劳动合同。此时，您有权要求单位继续履行劳动合同，或支付赔偿金（赔偿金为经济补偿标准的两倍）。
实际操作建议
- 收集证据：保留好与单位的沟通记录、劳动合同、工资单等证据，以备不时之需。
- 及时行动：劳动争议需在知道权利被侵害之日起一年内提出，因此请务必及时采取行动。
- 咨询专业人士：在维权过程中，如有需要，可咨询专业律师以获取更具体的法律建议。
总结：连续签订两次固定期限劳动合同后，若第三次劳动合同期满时单位不续签，且您不存在法定解除情形，那么单位的行为可能构成违法终止劳动合同。您有权要求单位签订无固定期限劳动合同或获得相应的经济补偿。在维权过程中，请务必保留好相关证据，并及时采取行动。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。