结论：家人生病请假时，公司通常无权直接辞退员工，但具体是否构成违法辞退需结合请假时长、医疗期、公司规章制度及实际情况综合判断。以下从法律角度详细分析：

一、法律对医疗期内的保护

根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十二条，劳动者在“患病或者非因工负伤，在规定的医疗期内”的，用人单位不得依照本法第四十条、第四十一条的规定解除劳动合同。这意味着：

1. 医疗期时长：医疗期根据员工实际工作年限和在本单位工作年限确定，一般为3-24个月（具体按《企业职工患病或非因工负伤医疗期规定》计算）。例如，工作5年以下的员工，医疗期为3个月。
2. 请假合法性：若家人生病需照顾，员工请的是事假而非病假，法律未直接规定公司必须批准。但若员工能证明请假必要性（如家属突发重病、无其他照顾人等），且未超出合理范围，公司单方面辞退可能涉嫌违法。

二、公司可能辞退的“例外情形”

公司若以“严重违反规章制度”为由辞退，需满足以下条件：

1. 规章制度合法：公司需证明请假制度（如事假天数限制、审批流程）已通过民主程序制定，并已公示或告知员工。
2. 员工行为违规：员工请假未履行手续（如未提交证明、未经批准擅自离岗），或请假时长明显超出合理范围（如连续数月请假），可能被认定为“旷工”或“严重违纪”。
3. 程序合法：公司需先通知员工改正，若员工拒不改正，方可依法解除合同，并支付经济补偿金（若构成违法解除，需支付赔偿金，即2倍经济补偿）。

三、员工应对措施

若公司以家人生病请假为由辞退，可按以下步骤维权：

1. 收集证据：
   • 请假凭证：请假申请单、审批记录、家属病历、诊断证明等。
   • 工作表现材料：绩效考核记录、项目成果等，证明工作未受严重影响。
   • 沟通记录：与领导、HR的邮件、微信聊天记录，证明已履行告知义务。
2. 协商解决：与公司沟通，说明家属病情及请假必要性，提出调整工作方式（如远程办公、调休）的解决方案。
3. 法律途径：
   • 劳动监察投诉：向当地劳动监察部门提交证据，要求查处公司违法行为。
   • 申请劳动仲裁：若投诉无果，可申请仲裁，主张公司违法解除合同，要求支付赔偿金（计算公式：工作年限×月工资×2）。
   • 提起诉讼：对仲裁结果不服的，可向法院起诉。

四、注意事项

1. 区分病假与事假：若员工自身生病，需按公司流程请病假并提交医疗证明；若为照顾家属，通常需请事假，此时公司审批权限较大，但需合理。
2. 避免“自动离职”：即使公司口头辞退，也需要求出具书面通知，并保留证据，防止被认定为“主动离职”。
3. 及时咨询律师：劳动争议案件时效性强（仲裁时效为1年），建议尽快行动，避免权益受损。

总结：家人生病请假时，公司无权直接辞退员工，但若请假行为违反公司合法规章制度且情节严重，公司可能依法解除合同。员工应优先收集证据、协商解决，必要时通过法律途径维权。如有疑问，可直接向我咨询具体操作流程。