监外执行会留下案底，且该案底不能消除，会伴随罪犯终身。以下是对这一问题的详细分析：
一、监外执行的本质与案底的形成
监外执行，作为刑罚执行的一种特殊方式，是针对被判处有期徒刑、拘役的罪犯，在出现法定特殊情形（如严重疾病需保外就医、怀孕或正在哺乳婴儿的妇女等）时，暂时变更执行场所和执行方法的一种制度。其核心在于，尽管罪犯不在监狱等常规服刑场所内执行刑罚，但他们仍然被视为已接受法院的有罪判决，并承担了相应的法律责任。因此，只要经过法院的审判并被定罪，无论最终是在监狱内服刑还是通过监外执行的方式在社会上进行矫正，罪犯的犯罪记录（即案底）都会被保留在相关的司法档案中。
二、案底的影响与不可消除性
案底的影响：案底的存在会对个人在多个方面产生影响，包括但不限于就业（特别是部分对犯罪记录有明确限制的职业）、出入境、子女政审等。这些影响体现了社会对犯罪行为的一种负面评价，也是法律对犯罪行为进行惩罚和预防再犯的一种手段。
案底的不可消除性：案底，又称“前科”，是个人过去犯法或犯罪行为的记录。它不会因刑罚执行方式的不同（如监内执行或监外执行）或刑罚执行完毕而消除。这意味着，无论罪犯是在监狱内服刑还是通过监外执行的方式完成刑罚，其犯罪记录都将伴随终身。
三、监外执行罪犯的积极改善途径
虽然案底不能消除，但罪犯并非没有改善自己处境的可能。他们可以通过以下方式努力改善自己的社会形象和信誉：
积极改正错误：罪犯应深刻反思自己的犯罪行为，积极改正错误，树立正确的价值观和人生观。
严格遵守法律法规：在监外执行期间，罪犯应严格遵守法律法规和社区矫正的相关规定，确保不再违法犯罪。
积极参与社会公益：通过参与社会公益活动，罪犯可以展示自己的积极态度和改变意愿，争取社会的理解和认可。
四、特殊情况下的考虑
对于未成年人犯罪，一些地区有相对特殊的政策。在满足一定条件下，可能会对其犯罪记录进行封存，限制对外公开。但这并不意味着案底被消除，而是对未成年人的一种特殊保护，旨在帮助他们更好地融入社会并减少因犯罪记录带来的不利影响。
总结与建议：监外执行会留下案底，且该案底不能消除。罪犯应深刻认识到这一点，并积极采取措施改善自己的社会形象和信誉。如果你或你身边的人面临监外执行相关的问题，或者对案底的影响有进一步的疑问，可以直接向我咨询，我会根据你的具体情况提供详细的法律建议。