针对您提出的“履职申请60天不答复诉讼”问题，核心结论如下：

1. 行政机关不履行法定职责的救济途径
   根据《行政诉讼法》第四十七条，公民、法人或其他组织申请行政机关履行保护人身权、财产权等法定职责，若行政机关在接到申请后两个月内未履行且无正当理由，申请人可向法院提起行政诉讼，要求确认行政不作为违法并责令履行职责。

   • 关键点：需证明已向行政机关提出明确申请（如书面材料、邮寄凭证等），且申请内容属于其法定职责范围。
     
   • 例外情形：若法律、法规对行政机关履行职责的期限另有规定（如30日、90日等），应从其规定。

2. 诉讼时效与起诉条件

   • 起诉期限：自行政机关履行期限届满之日起六个月内提起诉讼（《行政诉讼法》第四十六条）。若超过期限，法院可能不予受理，除非存在不可抗力或其他正当理由。
     
   • 起诉材料：需提交起诉状、身份证明、履职申请材料及行政机关未答复的证据（如邮寄回执、查询记录等）。

3. 诉讼风险与应对建议

   • 风险：若行政机关在诉讼中提供证据证明已履行职责（如内部审批流程、实际处理结果等），法院可能驳回诉讼请求。
     
   • 建议：
     
     1. 起诉前通过政府信息公开、信访等渠道补充证据，证明行政机关未实际履职；
        
     2. 同步申请行政复议（部分地区支持复议与诉讼并行），利用复议程序加速行政机关回应；
        
     3. 若涉及紧急情况（如环境污染、人身安全威胁等），可申请法院先予执行或要求行政机关采取临时措施。

行动建议：
若您已满足上述条件（如申请超60日未答复、证据充分），可立即向行政机关所在地基层法院提起行政诉讼。如有疑问或需协助整理证据材料，可直接向我咨询具体操作流程。