结论：信用卡欠款5000元，若长时间未还且经银行多次催收无果，或存在恶意透支行为，持卡人确实有可能被银行起诉。不过，若能积极与银行沟通并达成还款协议，或欠款时间较短且银行尚未启动法律程序，则可能避免被起诉的风险。以下是对此问题的详细分析：
一、可能被起诉的情况
银行催收无果：
- 当持卡人信用卡欠款达到5000元，并且经过银行一段时间（通常为数月）的多种催收方式（如短信、电话、邮件等）后，仍未表现出还款意愿或未偿还任何欠款，银行有权考虑通过法律途径解决问题，即向法院提起诉讼，要求持卡人还款并承担相应法律责任。
存在恶意透支行为：
- 若持卡人以非法占有为目的，超过信用卡规定限额或规定期限透支，并且在发卡银行两次催收后超过三个月仍不归还，此行为将被认定为恶意透支。根据《中华人民共和国刑法》第一百九十六条的规定，恶意透支数额在五万元以上不满五十万元的，属于“数额较大”，银行可向公安机关报案，经公安机关立案侦查后，检察机关会提起公诉，持卡人将面临刑事诉讼及可能的刑事责任。不过，即使欠款金额未达到五万元，若存在恶意透支行为，银行仍有可能通过民事诉讼途径追讨欠款。
二、可能不会被起诉的情况
持卡人有还款意愿并与银行达成协商：
- 如果持卡人在欠款后能积极与银行沟通，表明还款意愿，并与银行协商出双方都能接受的还款计划（如分期还款、延期还款等），且能按照协商后的计划按时还款，银行通常会给予理解和支持，不会轻易采取起诉等法律手段。
欠款时间较短且银行未启动法律程序：
- 如果欠款时间相对较短，银行可能会认为持卡人只是暂时遇到资金困难，会先给予一定的宽限期和催收机会，等待持卡人主动还款，而不会立即采取起诉等激烈措施。
三、法律后果与建议
- 法律后果：一旦银行起诉并获得法院受理与判决，持卡人若仍不履行还款义务，银行可以申请强制执行。法院有权查询、冻结、划扣持卡人的银行账户资金、处置名下资产等。同时，持卡人还将面临信用受损、产生额外的诉讼费用、逾期利息和滞纳金等不利后果。
- 建议：对于信用卡欠款问题，持卡人应时刻保持警惕，尽量避免出现长期逾期或恶意透支的情况。一旦发现无法按时还款，应立即与银行取得联系，说明情况并积极寻求解决方案。如果面临被起诉的风险或已经收到法院的传票，应及时向我咨询，了解自己的权利和义务，以便更好地应对法律纠纷。
综上所述，信用卡欠款5000元是否会被起诉取决于多种因素，包括欠款时间、催收情况、是否存在恶意透支行为以及持卡人的还款意愿和行动等。因此，持卡人应时刻关注自己的信用状况，积极与银行沟通协作，以避免不必要的法律风险和不良后果。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。