结论：欠信用卡两万多，银行确实有可能会起诉，但并非必然，是否起诉取决于多个因素。多数情况下，这属于民事纠纷，不构成诈骗犯罪，也不会直接导致坐牢，但持卡人仍需积极应对，以避免可能的法律纠纷和不良后果。

详细分析：

1. 银行的处理流程与起诉考量：

   • 当持卡人未能按时还款时，银行首先会通过短信、电话等方式提醒还款，此阶段旨在促使持卡人主动履行还款义务。
   • 若持卡人未响应，银行可能会加大催收力度，甚至委托专业催收机构进行催收。
   • 银行在决定是否起诉前，会综合考虑持卡人的还款态度、还款能力、逾期时间等因素。若逾期超过三个月，且欠款金额达到一定标准（如两万元），经多次催收无果，银行可能选择通过法律途径解决，即向法院提起诉讼。

2. 民事诉讼与法律后果：

   • 若银行以民事诉讼方式起诉持卡人，这通常基于普通的债权债务纠纷。持卡人未按时履行还款义务，银行通过法律途径追讨欠款。
   • 此类案件不属于诈骗，仅为民事违约行为。若持卡人败诉，法院将判决其在规定时间内偿还欠款，包括本金、利息及滞纳金等费用。
   • 拒不执行判决者，银行可申请强制执行，如冻结银行账户、查封财产等。

3. 刑事诉讼与刑事责任的可能性：

   • 当持卡人的行为符合信用卡诈骗罪的构成要件时，银行可能向公安机关报案，进入刑事诉讼程序。但根据《中华人民共和国刑法》及相关司法解释，恶意透支数额需达五万元以上才构成“数额较大”的刑事立案标准。因此，欠款两万多通常不构成信用卡诈骗罪的刑事立案标准。
   • 然而，若存在其他严重情节，如持卡人明知无还款能力而大量透支、肆意挥霍透支资金、逃匿或改变联系方式逃避催收等，司法机关会综合考量，有可能构成犯罪。
   • 另外，若法院判决持卡人还款，而持卡人有能力拒不履行，则可能构成拒不执行裁定判决罪，此时可能面临牢狱之灾。但这种情况较为罕见，且需要持卡人具备明显的拒不执行行为。

4. 持卡人的应对策略：

   • 积极沟通：建议持卡人尽快与银行取得联系，诚实说明还款困难，并尝试提出可行的还款计划或延期还款方案。
   • 避免失联：保持通讯畅通，及时回应银行的催收通知，避免因失联而加速银行采取法律行动。
   • 寻求专业帮助：如遇复杂情况，可考虑咨询律师（即我本人，杨维庆律师，专注于离婚、经济纠纷领域），制定更有效的还款策略。

建议与提醒：

• 持卡人应合理使用信用卡，避免过度消费和欠款，以免陷入法律困境。
• 若已欠款，应积极与银行沟通协商，制定可行的还款计划，以避免可能的法律后果。
• 如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询，我将根据你的具体情况提供针对性的法律建议。