自首的认定是一个涉及法律条文和具体案件情况综合分析的过程。以下我将结合相关法律解释和案例，为您详细阐述如何认定自首。

一、自首的法律基础

根据《中华人民共和国刑法》第六十七条第一款的规定，犯罪以后自动投案，如实供述自己的罪行的，是自首。这一条款为自首的认定提供了基本的法律框架。

二、自首的认定条件

自首的认定主要包含两个核心条件：自动投案和如实供述自己的罪行。

1. 自动投案：

   • 自动投案是指犯罪事实或者犯罪嫌疑人未被司法机关发觉，或者虽被发觉，但犯罪嫌疑人尚未受到讯问、未被采取强制措施时，主动、直接向公安机关、人民检察院或者人民法院投案。
   • 投案的方式多种多样，包括直接向司法机关投案、向所在单位或基层组织投案、委托他人代为投案、先以信电投案等。
   • 重要的是，投案必须是犯罪嫌疑人主动选择的结果，目的是交代问题接受调查，而非出于其他目的如打探案情等。

2. 如实供述自己的罪行：

   • 犯罪嫌疑人自动投案后，必须如实交代自己的主要犯罪事实。
   • 对于犯有数罪的犯罪嫌疑人，仅如实供述所犯数罪中部分犯罪的，只对如实供述部分犯罪的行为认定为自首。
   • 在共同犯罪案件中，犯罪嫌疑人除如实供述自己的罪行外，还应当供述所知的同案犯，主犯则应当供述所知其他同案犯的共同犯罪事实。

三、特殊情况下的自首认定

1. 职务犯罪中的自首：

   • 在职务犯罪案件中，自首的认定同样遵循上述基本条件，但需要考虑职务犯罪的特殊性。
   • 例如，在纪检监察机关调查期间，如果犯罪嫌疑人主动投案并如实交代问题，即使纪检监察机关已掌握部分线索，但只要犯罪嫌疑人交代的问题超出了纪检监察机关已掌握的范围，且属于不同种罪行，仍可以认定为自首。

2. 翻供后的自首认定：

   • 犯罪嫌疑人自动投案并如实供述自己的罪行后又翻供的，不能认定为自首。
   • 但是，如果在一审判决前又能如实供述的，应当认定为自首。

四、案例分析

以您提供的案例为例，甲和乙的自首情节认定存在争议。根据案件情况：

• 甲：甲在接到市纪委监委的通知后，虽然到案，但一开始采取撒谎、拖延等手段不配合核查工作，否认存在违纪违法问题。因此，甲不具备自动投案的意图和行为，其交代的贪污问题不具备自首情节。然而，甲后来交代的受贿问题，如果是在市纪委监委未确切掌握的情况下主动交代的，且属于不同种罪行，可以以自首论。

• 乙：乙是自动投案，且在留置期间主动交代了收受A贿赂的问题，这是在市纪委监委未确切掌握的情况下交代的。结合乙交代问题的时间节点和数额情况，可以认为乙具备自首情节。

五、结论

自首的认定需要综合考虑犯罪嫌疑人的投案意图、投案行为以及如实供述罪行的情况。在职务犯罪等特殊案件中，还需要结合案件的具体情况和相关法律规定进行综合分析。如果您或他人面临类似情况，建议及时咨询专业律师以获取更准确的法律意见。