当农民工遭遇工资拖欠问题时，为了最快解决问题，可以优先考虑以下几个部门或途径：

1. 劳动保障监察部门

   • 特点与优势：劳动保障监察部门是专门负责监督用人单位遵守劳动法律法规的行政部门，具有快速介入和高效处理的特点。他们有权对用人单位进行调查，对于查证属实的拖欠工资行为，可以依法责令用人单位限期支付，并有权进行行政处罚。
   • 处理流程：农民工可通过拨打全国统一的劳动保障监察投诉举报电话12333或前往当地劳动保障监察机构进行现场投诉。接到投诉后，部门将在5个工作日内决定是否受理，并在立案之日起60个工作日内（复杂情况可延长30个工作日）完成调查。对于证据确凿的案件，将责令用人单位迅速支付拖欠工资。
   • 所需材料：农民工需携带身份证件、劳动关系证据（如劳动合同、工作证、工资条等）及拖欠工资的相关证据，到当地劳动保障监察机构进行投诉登记。

2. 劳动争议调解组织

   • 特点与优势：劳动争议调解组织以调解为主，程序灵活高效，有助于双方快速达成和解协议，解决工资纠纷。这种方式避免了直接的法律诉讼，节省了时间和成本。
   • 申请途径与处理：农民工可向企业劳动争议调解委员会、基层人民调解组织或乡镇、街道设立的劳动争议调解组织提出调解申请。调解组织将在3个工作日内决定是否受理，并在受理后15日内完成调解工作。若双方达成调解协议，用人单位需按协议及时支付工资。

3. 建设领域清欠办公室（针对建筑行业）

   • 适用对象：特别适用于建筑行业农民工的工资拖欠问题。由于建筑行业拖欠工资问题较为突出，建设领域清欠办公室专门负责解决该领域的工资拖欠问题。
   • 处理方式：农民工可通过当地政府政务服务热线或建设行政主管部门了解建设领域清欠办公室的办公地址和联系方式，并提出投诉。该部门将对涉及的工程项目进行调查，核实拖欠情况，并责令建设单位和施工企业限期支付工资。对于拒不支付的企业，将采取进一步处罚措施，如限制招投标等。

4. 法律诉讼途径（作为最后手段）

   • 劳动仲裁与法院起诉：若上述途径未能解决问题，农民工还可以选择向劳动仲裁委员会申请仲裁或直接向法院提起诉讼。劳动仲裁是一种准司法性质的解决途径，其裁决具有法律效力。与诉讼相比，仲裁程序相对简单，审理期限较短。
   • 支付令申请：若手中持有欠条等凭证，农民工可直接向法院申请支付令，要求用人单位支付拖欠工资。这是一种快捷有效的法律手段，但需要满足一定的条件，如欠条内容明确、双方债权债务关系清晰等。

在采取任何行动之前，农民工应尽可能收集所有相关证据，包括工作合同、工时记录、工资条以及与雇主的沟通记录等。这些证据将有助于相关部门更快地了解问题，并作出有利于农民工的裁决。

总结来说，为了最快解决欠农民工工资的问题，建议首先向劳动保障监察部门投诉，利用其快速介入和高效处理的优势。同时，也可以考虑向劳动争议调解组织申请调解，以灵活高效的方式解决纠纷。对于建筑行业农民工，建设领域清欠办公室则提供了更具针对性的解决方案。若上述途径均未能解决问题，再考虑通过法律诉讼途径维护自身权益。有问题可以直接向我咨询，我会根据你的具体情况提供更详细的法律建议。