在拖欠农民工工资的情况下，最有权执法的部门主要是劳动保障监察部门，同时还有其他多个部门和途径可以协助解决这一问题。以下是详细分析：

1. 劳动保障监察部门：

   • 职责与权力：依据《劳动保障监察条例》，劳动保障监察部门是专门负责监督检查用人单位支付劳动者工资情况的机构。对于拖欠工资的行为，该部门有权依法进行调查核实，并作出处理决定，包括责令用人单位限期支付工资、加付赔偿金等。
   • 维权步骤：农民工在遭遇工资拖欠时，应首先携带身份证件、劳动关系证明（如劳动合同、工作证等）以及拖欠工资的证据（如工资条、银行转账记录等），到当地劳动保障监察机构进行投诉。监察机构将依法进行调查，并根据调查结果作出相应处理。

2. 劳动争议仲裁委员会：

   • 职责：如果农民工与用人单位之间的工资争议无法通过劳动保障监察部门解决，或者农民工希望获得更正式的裁决，可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。仲裁委员会将根据《中华人民共和国劳动争议调解仲裁法》的规定，对争议进行公正裁决。
   • 申请流程：农民工需在权利被侵害之日起一年内提出书面仲裁申请，并提交相关材料。仲裁裁决一般在受理申请后四十五日内作出，对双方均具有约束力。

3. 人民法院：

   • 支付令：在用人单位拖欠工资的情况下，农民工还可以直接向当地人民法院申请支付令。法院将依法发出支付令，要求用人单位支付拖欠的工资。
   • 民事诉讼：如果劳动仲裁不予受理或者农民工对仲裁裁决不服，还可以在15天内向法院提起民事诉讼，通过法院判决来执行工资支付。

4. 建设行政主管部门（针对建筑行业）：

   • 监管职责：在建筑行业，建设行政主管部门负责监管工程款支付和劳务分包管理。如果农民工在建筑工地遭遇工资拖欠，可以向建设行政主管部门投诉，该部门将采取措施督促解决工资拖欠问题。

5. 公安机关（针对拒不支付劳动报酬罪）：

   • 刑事责任追究：如果用人单位或个人逃避支付劳动报酬且数额较大，经政府责令支付仍不支付的，构成拒不支付劳动报酬罪。此时，公安机关将负责立案侦查并追究刑事责任，为农民工提供更有力的法律保障。

建议与总结：

• 农民工在遭遇工资拖欠时，应首先尝试通过劳动保障监察部门进行投诉和维权，这是最直接、最有效的途径。
• 如果问题未能得到妥善解决，可以进一步通过劳动争议仲裁委员会、人民法院等法律程序来维护自身权益。
• 在特定行业（如建筑行业），还可以向建设行政主管部门投诉，寻求行业监管的支持。
• 在必要时，农民工还可以依法追究用人单位的刑事责任，并要求支付赔偿金。

我国法律体系为农民工提供了全面的保护机制，确保其能够依法追回被拖欠的工资并维护自身合法权益。如果您在维权过程中遇到任何问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。