涉嫌寻衅滋事被刑事拘留的期限，根据案件的具体情况，一般有以下几种情形：

1. 一般情况下：

   • 公安机关对被拘留的人，若认为需要逮捕，应在拘留后的三日以内提请人民检察院审查批准。
   • 人民检察院应在接到公安机关提请批准逮捕书后的七日以内，作出批准逮捕或者不批准逮捕的决定。
   • 因此，在一般情况下，寻衅滋事刑事拘留的最长期限为10天（3天公安机关提请时间 + 7天人民检察院审查时间）。

2. 特殊情况下：

   • 如案件复杂或需要进一步调查等，公安机关提请审查批准的时间可以延长一日至四日。
   • 此时，人民检察院仍有7天时间作出决定。
   • 所以，特殊情况下寻衅滋事刑事拘留的最长期限为14天（3天+4天公安机关提请时间 + 7天人民检察院审查时间）。但需注意，“特殊情况”需符合法律规定的特定条件。

3. 流窜作案、多次作案、结伙作案的重大嫌疑分子：

   • 对于这类更为严重的犯罪情况，公安机关提请审查批准的时间可以延长至三十日。
   • 人民检察院同样有7天时间来作出决定。
   • 因此，针对这类重大嫌疑分子，寻衅滋事刑事拘留的最长期限为37天（30天公安机关提请时间 + 7天人民检察院审查时间）。这是刑事拘留期限的上限，除非有特别法律规定，否则不得超越此期限。

刑事拘留期限届满后的处理：

• 如果人民检察院批准逮捕，犯罪嫌疑人会被继续羁押以等待进一步的刑事诉讼程序。
• 如果不批准逮捕，公安机关应当立即释放犯罪嫌疑人。对于需要继续侦查且符合取保候审或监视居住条件的犯罪嫌疑人，公安机关应依法采取相应措施。

法律建议：

• 涉嫌寻衅滋事或其他刑事犯罪的当事人及其家属，在面临刑事拘留等法律问题时，应尽快了解案件的具体情况，包括拘留的原因、期限以及可能的法律后果。
• 同时，建议积极寻求专业的法律帮助，以便更好地维护自身合法权益。作为专业律师，我可以为你提供详细的法律咨询和辩护服务，帮助你应对复杂的法律问题。

总结：

• 涉嫌寻衅滋事被刑事拘留的期限根据案件的具体情况而定，最长不超过37天。
• 具体的拘留时间会受案件性质、证据充足程度等多种因素影响。
• 如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。