结论前置：

1. 欠信用卡不到一万，银行确实有权起诉，但具体是否起诉取决于多种因素，包括持卡人的还款态度、逾期时间以及银行的具体政策。
2. 一般情况下，欠款不到一万不涉及刑事责任，但若存在恶意透支等特定情形，也可能依法追究刑事责任，不过这种情况相对少见。

详细分析

一、银行起诉的考量因素

1. 还款态度：

   • 银行在决定是否起诉时，会重点考虑持卡人的还款态度。若持卡人能够积极与银行沟通，展现还款意愿，并尝试制定可行的还款计划，银行往往会给予理解和宽容，可能不会立即采取法律行动。
   • 相反，若持卡人逃避催收，拒绝还款或态度恶劣，银行则更可能选择通过法律途径解决欠款问题。

2. 逾期时间：

   • 逾期时间是银行决定是否起诉的重要因素。初期逾期，银行通常会通过电话、短信等方式提醒还款。
   • 若逾期超过一定时间（如3个月），且未见到有效的还款行动或沟通，银行可能会将催收工作交给第三方机构，甚至考虑直接起诉持卡人。

3. 欠款金额：

   • 尽管欠款不到一万，但只要达到银行设定的起诉标准（不同银行可能有所不同），并且符合《中华人民共和国民事诉讼法》规定的起诉条件，银行即有权提起诉讼。
   • 欠款金额虽非决定性因素，但若持卡人行为恶劣或持续不还，银行也可能为维护自身权益而选择起诉。

二、法律规定与后果

1. 民事诉讼：

   • 根据《中华人民共和国民事诉讼法》的相关规定，银行作为原告，需证明与持卡人存在信用卡合同关系，且持卡人未按合同约定还款，方可向法院提起诉讼。
   • 一旦银行胜诉，持卡人除需偿还欠款本金、利息及滞纳金外，还可能承担诉讼费用。
   • 若持卡人拒不执行法院判决，银行可申请强制执行，这将严重损害持卡人的个人信用记录及日常生活。

2. 刑事诉讼（特殊情况）：

   • 一般情况下，欠款不到一万不涉及刑事责任。
   • 但若银行能证明持卡人存在恶意透支等符合信用卡诈骗罪构成要件的行为（如超过规定限额或规定期限透支，并且经发卡银行两次有效催收后超过三个月仍不归还），即使金额未达刑事立案标准（通常为五万元以上），也可能根据具体情节依法追究刑事责任。不过，这种情况相对少见，且需要银行提供充分证据。

三、应对策略与建议

1. 及时沟通：

   • 如遇还款困难，应立即与银行沟通，说明情况，尝试协商还款计划，避免逾期时间过长。

2. 积极应对：

   • 即使无法按时全额还款，也应保持与银行的联系，展现积极的还款态度，减少被起诉的风险。

3. 避免逃避：

   • 切勿逃避催收电话或银行工作人员的沟通，以免加速银行采取法律手段的进程。

4. 了解法律后果：

   • 增强法律意识，了解相关法律法规及后果，确保自身行为合法合规。

总结：欠信用卡不到一万虽然金额不大，但仍需高度重视。银行有权根据持卡人的还款态度、逾期时间以及具体政策决定是否起诉。为避免不必要的法律纠纷和信用损害，建议持卡人按约定还款或积极与银行沟通协商还款计划。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。