汽车撞死小狗后逃跑，这一行为在法律上主要构成肇事逃逸，并可能涉及民事赔偿、行政处罚甚至刑事责任。以下是对此问题的详细分析：

1. 肇事逃逸的认定：

   • 根据《中华人民共和国道路交通安全法》的相关规定，交通事故是指车辆在道路上因过错或者意外造成的人身伤亡或者财产损失的事件。在此定义中，“财产损失”包括动物（如宠物狗）的损失。
   • 肇事逃逸通常指发生交通事故后，当事人为了逃避法律责任而逃离现场的行为。这一行为的核心在于“逃避法律责任”，而非事故的具体类型或损失大小。因此，汽车撞死小狗后逃跑，即使小狗是宠物，也构成肇事逃逸。

2. 民事责任：

   • 财产损害赔偿：狗作为他人的私人财产，若被汽车撞死，驾驶员需对狗主人承担财产损害赔偿责任。赔偿金额通常依据狗的市场价值、购买价格、饲养成本等因素确定。即使肇事车辆逃逸，狗主人也有权通过合法途径（如查看监控）找到肇事车主，要求其承担赔偿责任。
   • 精神损失赔偿：在特定情况下，如狗对狗主人具有特殊意义或导致狗主人精神受到严重损害，狗主人还可能主张精神损失赔偿。不过，这一赔偿的认定和金额通常较为严格，需要具体证据支持。

3. 行政责任：

   • 根据《中华人民共和国道路交通安全法》及相关规定，造成交通事故后逃逸，尚不构成犯罪的，由公安机关交通管理部门处二百元以上二千元以下罚款，并可以并处十五日以下拘留。此外，还可能面临暂扣或吊销驾驶证等行政处罚。
   • 如果该事故被认定为交通事故（如狗处于拴养等合法状态下在道路上正常活动被撞），则逃逸行为将受到更严格的法律制裁。

4. 刑事责任（在特定情况下）：

   • 故意毁坏财物罪：如果撞死的狗价值非常高，达到当地关于故意毁坏财物罪的立案标准（一般5000元以上），且驾驶员主观上存在故意心态（如明知会撞死狗而故意为之），则可能涉嫌故意毁坏财物罪。然而，在正常驾驶过程中意外撞死狗后逃逸，通常较难认定构成此罪。
   • 交通肇事罪：虽然直接因撞死狗而构成交通肇事罪的情况较为罕见，但如果逃逸行为导致了严重的后果（如引发其他交通事故、造成人员伤亡等），或者逃逸情节特别恶劣，驾驶员可能面临交通肇事罪的刑事追究。根据《中华人民共和国刑法》的相关规定，交通运输肇事后逃逸或者有其他特别恶劣情节的，将处三年以上七年以下有期徒刑。

5. 特殊情况处理：

   • 流浪狗：如果被撞的狗是流浪狗，由于不属于任何人或单位的财产，因此不构成肇事逃逸的财产损失部分。但驾驶员仍需注意避免因此类事故而引发的其他法律风险（如引发公众关注或舆论压力）。
   • 无狗证或未系狗绳：若被撞的狗没有狗证或未系狗绳，且车辆是正常行驶，驾驶员在证明自身无过错的情况下，可能有权拒绝赔付财产损失部分。但同样需要承担因逃逸而产生的其他法律责任（如行政处罚）。不过，这一情况的具体认定可能因地区和具体案情而异。

总结与建议： 汽车撞死小狗后逃跑是一种不负责任的行为，不仅损害了狗主人的合法权益，也破坏了社会的公序良俗。因此，无论是从民事、行政还是刑事角度，涉事驾驶员都应承担相应的法律责任。建议驾驶员在发生此类事故后，立即停车并报警，积极配合警方调查处理，以减轻或避免法律责任。同时，狗主人也应加强宠物的管理，避免类似事故的发生。如果您有任何法律疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。