关于未成年退款是否允许二次申请的问题，这并非一个简单的“是”或“否”的答案，而是需要根据具体情况、相关法律规定以及游戏平台或商家的政策来综合判断。

首先，从法律角度来看：

根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，八周岁以上的未成年人为限制民事行为能力人，他们的消费行为需要由法定代理人代理或同意。对于不满八周岁的未成年人，他们是无民事行为能力人，消费行为完全由法定代理人代理。如果未成年人未经法定代理人同意进行了与其年龄、智力不相适应的消费，法定代理人是有权要求退款的。法律并没有明确禁止第二次退款，所以如果后续再次发生了符合退款情形的消费，理论上法定代理人仍然可以要求退款。

其次，从实际操作角度来看：

1. 平台或商家政策差异：不同的游戏平台或商家对未成年人退款的规定和处理流程可能会有所不同。有些平台在处理过一次退款后，可能会对账号采取更严格的监管措施，甚至拒绝第二次退款申请，理由可能包括已经处理过退款、家长监管不力等。但也有一些平台出于保护未成年人权益的原则，只要符合退款条件的新消费，仍然会受理第二次退款申请。

2. 第一次退款的原因与情况：如果第一次退款是因为误操作、欺诈或其他不正当原因导致的，并且已经成功获得了退款，那么第二次申请退款可能会面临更多的困难和审查。因为商家或平台可能会认为这是在滥用退款政策。

3. 证据的重要性：无论是否是第一次申请退款，法定代理人在申请时都需要提供充分的证据来证明消费是未成年人所为且未经同意。如果证据不足，退款申请很可能会被拒绝。

提高二次退款成功率的建议：

1. 准备充分、有力的证据：包括充值记录、游戏截图、亲子关系证明、设备登录记录等，这些证据应能清晰证明未成年人未经允许进行了充值。

2. 积极与游戏公司或商家沟通协商：明确表达退款需求，提供详细的情况说明，通过积极沟通争取达成双方都能接受的退款方案。

3. 了解游戏平台或商家的政策：在申请退款前，务必先了解所涉游戏平台或商家的退款政策和流程，以便更好地准备和申请。

注意事项：

1. 及时申请退款：避免超过退款期限而被拒绝。

2. 谨慎考虑退款金额：在同意退款方案前，仔细评估退款金额是否满意。

3. 法律途径：如果协商无果，可以考虑通过法律途径来维护自己的合法权益。

综上所述，未成年退款是否允许二次申请并没有一个固定的答案，而是需要根据具体情况和相关证据来判断。家长应充分了解退款政策，积极准备证据，并与游戏平台或商家保持良好沟通，以争取合理的处理结果。