结论：不予立案的复议机关及复议时限因案件性质不同而有所差异，以下分情况详细说明。
一、行政案件中的不予立案复议机关及复议时限
复议机关：
- 根据《中华人民共和国行政复议法》第十二条，对县级以上地方各级人民政府工作部门的具体行政行为不服的，由申请人选择，可以向该部门的本级人民政府申请行政复议，也可以向上一级主管部门申请行政复议。
- 示例：若某县公安局对一起治安案件作出不予立案决定，当事人对该决定不服，既可以向该县人民政府申请行政复议，也可以向市公安局申请行政复议。
复议时限：
- 申请期限：公民、法人或者其他组织认为具体行政行为侵犯其合法权益的，可以自知道该具体行政行为之日起六十日内提出行政复议申请；但是法律规定的申请期限超过六十日的除外。在不予立案案件中，当事人通常是在收到不予立案通知书后知晓该具体行政行为，所以一般应在收到通知书之日起六十日内提出复议申请。
- 特殊情况：因不可抗力或者其他正当理由耽误法定申请期限的，申请期限自障碍消除之日起继续计算。例如，当事人在收到不予立案通知书后，因突发严重疾病无法及时申请复议，待疾病治愈后，在合理期限内仍可继续申请，但需提供相关证明。
- 受理与审理期限：
- 受理审查期限：行政复议机关收到行政复议申请后，应当在五日内进行审查，对不符合本法规定的行政复议申请，决定不予受理，并书面告知申请人；对符合本法规定，但是不属于本机关受理的行政复议申请，应当告知申请人向有关行政复议机关提出。除前款规定外，行政复议申请自行政复议机关负责法制工作的机构收到之日起即为受理。
- 审理期限：行政复议机关应当自受理申请之日起六十日内作出行政复议决定；但是法律规定的行政复议期限少于六十日的除外。情况复杂，不能在规定期限内作出行政复议决定的，经行政复议机关的负责人批准，可以适当延长，并告知申请人和被申请人；但是延长期限最多不超过三十日。
二、刑事案件中的不予立案复议机关及复议时限
复议机关：
- 根据《中华人民共和国刑事诉讼法》及《公安机关办理刑事案件程序规定》，控告人对公安机关作出的不予立案决定不服，可向作出决定的公安机关申请复议，不服复议结果可进一步向上一级公安机关申请复核。
- 示例：若某市公安局对一起刑事案件作出不予立案决定，控告人不服，可先向该市公安局申请复议，若对复议结果仍不服，可向上一级公安机关（如省公安厅）申请复核。
复议时限：
- 复议申请期限：控告人对公安机关作出的不予立案决定不服，可在收到不予立案通知书后七日以内，向作出该决定的公安机关提出复议申请。公安机关应在收到复议申请后三十日以内作出决定，并书面通知控告人。
- 复核申请期限：若控告人对复议决定仍不服，可在收到复议决定书后七日以内，向上一级公安机关申请复核。上一级公安机关应在收到复核申请后三十日以内作出决定，并通知下级公安机关执行。
三、其他救济途径
- 行政案件：除行政复议外，当事人还可以选择行政诉讼作为救济途径，即直接向人民法院提起诉讼。
- 刑事案件：控告人除复议、复核外，还可向人民检察院申请立案监督。根据《中华人民共和国刑事诉讼法》第一百一十三条，人民检察院认为公安机关不立案理由不能成立的，应通知公安机关立案，这是司法监督的重要体现。
四、注意事项
- 证据材料：无论是申请行政复议还是刑事复议，控告人都应提供充分的证据材料，说明公安机关或行政机关不予立案的决定存在错误。
- 时限要求：控告人需严格遵守法定的时限要求，否则可能会丧失复议或复核的权利。
- 法律咨询：在申请复议、复核或立案监督过程中，控告人可以咨询律师，了解相关法律规定和程序要求，以便更好地维护自己的合法权益。
总结：不予立案的复议机关及复议时限因案件性质不同而有所差异。在行政案件中，复议机关通常为本级人民政府或上一级主管部门，复议时限一般为六十日；在刑事案件中，复议机关为作出不予立案决定的公安机关或其上一级公安机关，复议时限相对较短。此外，控告人还可以根据案件性质选择其他救济途径，如行政诉讼或立案监督。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。