赠品有问题时，消费者完全有权要求赔偿。以下从不同角度为您详细分析：
一、法律依据与商家责任
《中华人民共和国消费者权益保护法》：
- 根据该法第十六条及第十八条，经营者向消费者提供商品（包括赠品）时，有义务保证商品的质量安全，确保商品符合保障人身、财产安全的要求。赠品作为商家促销活动的一部分，不能因其免费性质而免除商家的质量保证责任。
《中华人民共和国民法典》：
- 依据第一千二百零二条及第一千二百零三条，若赠品存在缺陷并导致消费者人身或财产受损，赠品的生产者或销售者需承担侵权责任。消费者可以向产品的生产者或销售者请求赔偿，且根据缺陷产生的原因，生产者和销售者之间可能存在相互追偿的权利。
- 第六百六十二条规定，赠与的财产有瑕疵的，赠与人不承担责任，但附义务的赠与除外。在附义务的赠与中，赠与人在附义务的限度内承担与出卖人相同的责任。若赠与人故意不告知瑕疵或保证无瑕疵，而赠品实际存在瑕疵并导致损害，赠与人需承担赔偿责任。
《最高人民法院关于审理网络消费纠纷案件适用法律若干问题的规定（一）》（如涉及网商）：
- 第八条规定，电子商务经营者提供的奖品、赠品等给消费者造成损害，不得以免费提供或换购为由主张免责。
二、不同情况下的赔偿要求
赠品为纯粹赠与（无附加义务）：
- 一般情况下，若赠品是纯粹赠与且无附加条件，商家未故意隐瞒瑕疵或保证无瑕疵，则通常不承担直接赔偿责任，但需注意，若因赠品质量问题导致消费者人身或财产受损，商家仍可能需承担侵权责任。
- 特殊情况下，若商家故意隐瞒赠品质量问题或明确保证无瑕疵而实际存在瑕疵，并导致消费者损失，商家应承担赔偿责任。
赠品为附义务的赠与：
- 赠品与消费者购买行为相关联时（如买一赠一），视为附义务的赠与。若赠品有质量问题，商家应在附义务的限度内承担与出卖人相同的责任，包括修理、更换、退货等。
- 若因赠品质量问题给消费者造成其他损失（如医疗费、误工费等），消费者有权要求商家赔偿相应损失。
三、赔偿范围与方式
直接损失赔偿：
- 若赠品存在质量问题并给消费者造成人身或财产损害，消费者有权要求商家赔偿因赠品质量问题导致的直接损失，如医疗费、护理费、交通费等为治疗和康复支出的合理费用，以及因误工减少的收入等。
补救措施：
- 若赠品本身存在质量问题但尚未造成实际损害，消费者可以要求商家采取更换合格赠品、对有问题的赠品进行维修等合理补救措施。
必要费用承担：
- 因赠品质量问题产生的退货、更换、修理等必要费用，应由销售者承担。
四、维权途径
与销售者沟通：
- 消费者应首先与销售者进行沟通，表达自己的诉求，尝试通过协商解决问题。
向消费者协会投诉：
- 若商家拒绝承担责任，消费者可以向当地的消费者协会投诉，寻求第三方机构的帮助与支持。
行政部门申诉：
- 消费者还可以向相关行政部门（如市场监督管理局）申诉，请求其介入调查并处理。
法律途径：
- 仲裁：如果消费者与商家之间有仲裁协议，可以依据协议向仲裁机构申请仲裁，以解决赠品质量问题引发的纠纷。
- 诉讼：当其他维权途径均无法解决问题时，消费者可以向人民法院提起诉讼，要求商家承担法律责任。
举例说明：假设消费者在商场购物时获赠了一瓶洗发水，使用后因洗发水质量问题导致头皮严重过敏并产生医疗费用等损失。在此情况下，消费者可以依据上述法律规定，要求商场或洗发水的生产者承担相应赔偿责任，包括但不限于医疗费、护理费、误工费以及可能的精神损害抚慰金等。
综上所述，赠品有问题时，消费者不仅有权要求赔偿，而且应依法积极维护自己的合法权益。商家也应充分认识到自身对赠品质量的保证责任，避免因此产生的法律风险。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。