结论：车撞死狗后逃跑，在特定情况下可能构成肇事逃逸，但具体是否构成需根据实际情况和法律规定综合判断。以下是对此问题的详细分析：
一、肇事逃逸的定义与关键要素
根据《最高人民法院关于审理交通肇事刑事案件具体应用法律若干问题的解释》及相关法律规定，肇事逃逸是指在发生交通事故后，为逃避法律追究而逃跑的行为。其关键要素包括：
- 存在交通事故：即车辆在道路上因过错或意外造成人身伤亡或财产损失的事件。
- 行为人知晓事故发生：驾驶人必须明知发生了事故。
- 逃避法律追究的故意：驾驶人具有逃避法律责任的意图。
二、撞死狗后逃跑的情况分析
狗作为财产：
- 在法律上，狗被视为财产的一种。因此，开车撞死狗属于造成他人财产损失的交通事故。
- 如果驾驶人在撞死狗后明知事故发生，却未停车处理而直接离开现场，这种行为符合肇事逃逸的构成要件。除非驾驶人能够证明自己在事故发生时确实不知情，否则一般应认定为肇事逃逸。
特殊情况分析：
- 狗是流浪狗或无主人：如果撞死的狗是流浪狗或无法确定其主人，且没有造成其他财产损失或人身伤害，那么从法律层面看，它不属于特定他人的财产。在这种情况下，离开现场通常不被视为肇事逃逸。但驾驶人仍需注意，如果因撞击导致公共设施损坏（如护栏），则仍负有报告义务。
- 驾驶人不知情或无法感知：如果驾驶人在撞狗时确实无法感知到碰撞，或者是在事后才被告知发生了事故，且没有逃避法律追究的意图，那么这种情况可能不构成肇事逃逸。
- 紧急避险或不可抗力：在极少数情况下，如果驾驶人是因为紧急避险或不可抗力导致撞死狗，并且立即采取了合理措施处理后续事宜，那么也可能不构成肇事逃逸。
三、法律后果与责任承担
民事赔偿责任：
- 无论是否构成肇事逃逸，如果撞死了有主人的狗，驾驶人都需要向狗的主人承担民事赔偿责任，赔偿因狗死亡而遭受的经济损失。具体金额可通过协商或司法评估确定。
行政处罚：
- 如果构成肇事逃逸，驾驶人将面临公安机关交通管理部门的行政处罚，如罚款（200元以上2000元以下）、扣分（驾驶证记6分至吊销）及可能的行政拘留。若引发二次事故或妨碍调查，处罚力度将显著升级。
刑事责任：
- 在严重情况下，如因逃逸导致他人受伤或死亡等严重后果的，还可能构成交通肇事罪等刑事犯罪，面临更严厉的法律制裁。但需注意，普通家养犬只的撞击通常不构成刑事犯罪，除非满足特定条件（如财产损失超过30万元且驾驶人明知撞击高价品种犬仍逃逸）。
四、建议与行动指南
立即停车并保护现场：
- 如果发生撞狗事故，无论狗是否有主人，驾驶人都应立即停车并保护现场，避免二次事故的发生。
积极采取措施妥善处理：
- 如果狗有主人，驾驶人应与主人协商赔偿事宜；如果无法确定主人或狗是流浪狗，驾驶人可报警备案并说明情况。
主动接受法律调查与处理：
- 驾驶人应主动配合公安机关交通管理部门的调查与处理工作，如实陈述事故经过并提供相关证据。
增强行车安全意识：
- 驾驶人在行车过程中应时刻保持警惕，注意路况和周围环境，避免类似事故的发生。
总结：车撞死狗后逃跑是否构成肇事逃逸需根据具体情况和法律规定综合判断。如果发生此类情况，建议驾驶人立即停车、保护现场、积极采取措施妥善处理，并主动接受法律调查与处理。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。