派遣员工受伤，原则上由派遣公司负责，但用工单位有过错的，需承担相应赔偿责任。具体分析如下：
一、派遣公司的责任
根据《劳动合同法》第五十八条的规定，劳务派遣单位是用人单位，应当履行用人单位对劳动者的义务，包括与劳动者签订劳动合同、支付劳动报酬、缴纳社会保险等。当派遣员工在工作中受伤时，派遣公司作为用人单位，应当承担工伤保险责任，包括申请工伤认定、支付工伤待遇等。这是因为派遣公司与员工之间存在劳动关系，员工在派遣期间的工作风险应由派遣公司承担。
二、用工单位的责任
虽然派遣公司是主要的责任主体，但用工单位并非完全无责。根据《劳动合同法》第九十二条以及《最高人民法院关于审理工伤保险行政案件若干问题的规定》第三条的规定，用工单位在以下情况下需承担相应责任：
用工单位违反劳务派遣规定：如果用工单位违反了劳务派遣的相关规定，如未按照约定提供劳动保护条件、未对派遣员工进行必要的安全培训等，导致派遣员工受伤的，用工单位应当承担相应的赔偿责任。
用工单位给派遣员工造成损害：如果用工单位的行为直接导致了派遣员工的受伤，如用工单位的设备故障、操作不当等，那么用工单位应当承担赔偿责任。在这种情况下，用工单位和派遣公司可能会根据各自的过错程度承担连带责任。
三、实际案例与操作建议
在实际操作中，派遣员工受伤后，应首先由派遣公司负责申请工伤认定和支付工伤待遇。如果用工单位存在过错或给派遣员工造成了损害，派遣公司可以在支付工伤待遇后，向用工单位进行追偿。
建议：
派遣公司：应加强与用工单位的沟通与合作，明确双方在劳务派遣中的权利和义务，特别是关于员工安全保护和工伤处理方面的责任划分。同时，派遣公司应定期对派遣员工进行安全培训，提高员工的安全意识和自我保护能力。
用工单位：应严格遵守劳务派遣的相关规定，为派遣员工提供必要的劳动保护条件，并进行必要的安全培训。在发生工伤事故时，用工单位应积极配合派遣公司进行工伤认定和待遇支付工作，并根据自身过错程度承担相应的赔偿责任。
派遣员工：在发生工伤事故后，应及时向派遣公司和用工单位报告，并保留好相关证据。同时，派遣员工应了解自己的权益和义务，积极配合工伤认定和待遇支付工作。
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