当打人者逃离现场后，派出所会采取一系列严谨且有序的步骤来处理此类案件，以维护受害者的合法权益和社会的公共秩序。以下是详细的处理流程：
一、案件受理与初步勘查
及时受理报案：一旦接到受害者或目击者的报案，派出所会立即受理，并详细记录报案信息，包括事件发生的时间、地点、经过以及打人者的特征等，制作受案登记表。
现场勘查与证据收集：派出所民警会迅速赶赴现场，进行细致的勘查工作，收集可能的证据，如监控录像、血迹、打斗痕迹、遗留物品等。同时，会询问目击者，获取打人者的体貌特征、逃跑方向等关键线索，并制作询问笔录。
二、立案侦查与追捕行动
立案侦查：根据收集到的证据和线索，派出所会将此事件立为刑事案件或治安案件进行调查，并录入系统备案登记，以便后续跟踪和管理。
组织追捕：派出所会迅速组织警力，利用技术手段如调阅监控视频、分析人口信息系统等，追踪打人者的逃跑轨迹。同时，会发布协查通报，请求周边地区的公安机关及相关部门协助查找打人者。
加强巡逻防控：在案件发生地及周边区域，派出所会加强巡逻防控力度，提高发现打人者的概率，并起到震慑作用，防止类似事件再次发生。
三、伤情鉴定与案件定性
医疗救治与伤情鉴定：派出所会确保受伤者得到及时有效的治疗，并安排其到指定的具有资质的医疗机构或鉴定机构进行伤情鉴定。伤情鉴定结果对于确定案件的性质至关重要。
案件定性：依据伤情鉴定结果和调查收集的证据，派出所会对案件进行定性。如果伤者的伤情达到轻伤及以上程度，打人者的行为可能涉嫌故意伤害罪，案件将转为刑事案件办理；如果伤情为轻微伤，则一般按照治安案件处理。
四、持续追踪与法律救济
持续追踪抓捕：无论案件性质如何，派出所在打人者未到案期间，会持续开展侦查工作，不放弃对其追捕。一旦获取新的线索，会及时实施抓捕行动。
通报案件进展：派出所民警有义务定期向受害者及其家属通报案件的侦查进展情况，解答他们对于案件的疑问，并提供必要的帮助和支持。
依法处理打人者：当打人者被抓获后，派出所会按照法律程序对其进行处理。如果是刑事案件，将依法对打人者采取刑事拘留等强制措施，并将案件移送检察院审查起诉；如果是治安案件，将根据《治安管理处罚法》的相关规定，对打人者予以警告、罚款、行政拘留等处罚。
法律救济途径：若打人者逃匿或未受到刑事处罚，受害者可以单独向法院提起民事诉讼，要求打人者赔偿因伤害行为导致的物质损失和精神损害。法院将依法审理此类案件，并作出公正判决。
综上所述，派出所在处理打人者逃离现场的案件时，会采取全面而有力的措施来追捕打人者，并确保案件得到依法妥善处理。同时，受害者也应积极配合公安机关的调查工作，提供必要的线索和证据，以便案件能够尽快得到解决。