结论：偷350元商品是否会留案底，主要取决于是否构成犯罪并被法院判处有罪。就您描述的情况来看，由于350元通常未达到盗窃罪的数额标准，因此一般不会留下犯罪记录（案底），但可能会受到治安管理处罚，并在公安机关留下违法记录。

详细分析：

1. 盗窃罪的数额标准：

   • 根据《最高人民法院、最高人民检察院关于办理盗窃刑事案件适用法律若干问题的解释》，盗窃公私财物价值一千元至三千元以上才可能构成“数额较大”，进而构成盗窃罪。由于350元远低于这一标准，因此，在一般情况下，偷350元商品不会构成盗窃罪。

2. 特殊情形的入罪标准：

   • 即便盗窃数额未达到“数额较大”的标准，但如果存在特殊情形，如曾因盗窃受过刑事处罚、一年内曾因盗窃受过行政处罚等，也可能构成盗窃罪。然而，就您描述的情况来看，并未提及这些特殊情形，因此可以初步判断不构成盗窃罪。

3. 治安管理处罚与违法记录：

   • 如果盗窃行为不构成犯罪，一般会依据《中华人民共和国治安管理处罚法》给予治安管理处罚，如拘留、罚款等。这种情况下，虽然不会留下犯罪记录（案底），但会在公安机关留下违法记录存档。违法记录与犯罪记录性质不同，对个人的影响也有所区别。

4. 未成年人的特殊规定：

   • 如果行为人是未成年人，且犯罪时不满十八周岁且被判处五年有期徒刑以下刑罚的，根据《中华人民共和国刑事诉讼法》的相关规定，应当对相关犯罪记录予以封存。这意味着，对于未成年人的轻微盗窃行为，其犯罪记录可以不对外公开。但这一规定并不适用于成年人，且就您描述的情况来看，并未提及行为人的年龄，因此这一规定在此情况下不适用。

建议与后续行动：

• 如果您或他人因盗窃行为受到治安管理处罚，建议遵守处罚决定，积极改正错误，避免再次违法。
• 如果您对处罚决定有异议，可以依法申请行政复议或提起行政诉讼，维护自己的合法权益。
• 在日常生活中，建议遵守法律法规，尊重他人的财产权，避免涉及任何违法犯罪行为。

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