在处理有限责任公司变更法定代表人而股东不签字的问题时，我们需要综合考虑公司章程、相关法律法规以及股东间的沟通协商等多个方面。以下是对此问题的详细解答：

一、查阅公司章程，明确决策程序

首先，应仔细查阅公司章程中关于法定代表人变更的决策程序和表决比例规定。公司章程是公司内部事务的基本依据，它通常会明确股东在特定情况下的权利和义务，以及决议的通过条件。如果章程中明确规定了变更法定代表人需经代表一定比例（如三分之二以上）表决权的股东通过，那么只要达到该比例，即便有部分股东不签字，也可按章程进行变更。

二、深入沟通，了解股东不签字的原因

股东不签字可能出于多种原因，包括沟通不畅、利益冲突或恶意阻挠等。因此，与不签字的股东进行深入沟通至关重要。通过沟通，我们可以了解其反对的具体原因，可能是对新法定代表人的疑虑、对变更事项的误解，或是认为变更对其利益产生不利影响。针对不同原因，我们可以提供详细的解释和说明，消除其顾虑，或考虑在其他方面给予补偿以换取支持。

三、依法召集股东会，进行表决

如果沟通协商无果，我们可以依法召集股东会会议，对法定代表人变更事项进行表决。在召集会议时，应确保会议的通知、时间、地点和议程符合公司章程和《公司法》的规定。在会议上，应充分讨论变更事项，并听取各股东的意见和建议。如果经代表足够比例表决权的股东通过变更决议，那么该决议即有效，即便有部分股东不签字也不影响决议的效力。

四、考虑法律途径，维护公司权益

如果股东无正当理由故意阻挠变更，且其行为已经严重影响到公司的正常运营和决策效率，我们可以考虑通过法律途径维护公司权益。具体来说，可以向人民法院提起诉讼，请求法院确认股东会决议的效力，并要求不签字股东配合办理法定代表人变更登记手续。在诉讼过程中，我们需要提供充分证据证明股东会的召集程序、表决方式符合法律规定和公司章程，以及变更法定代表人的必要性和合理性。

五、完成变更登记，确保手续合规

在取得有效的股东会决议后，我们应及时向公司登记机关申请法定代表人变更登记。提交相关文件时，应确保文件的真实性和完整性，包括变更登记申请书、股东会决议、新法定代表人的身份证明等。登记机关审核通过后，将办理变更登记手续，完成法定代表人的更换。

总结与建议：

在处理有限责任公司变更法定代表人而股东不签字的问题时，我们应首先查阅公司章程，明确决策程序和表决比例。通过沟通协商了解股东反对的原因，并寻求解决方案。若无法达成一致，可依法召集股东会进行表决。在必要时，可采取法律途径维护公司权益。整个过程中，我们应保持冷静和理性，确保所有操作符合法律法规和公司章程的规定。同时，建议咨询专业的律师或法律顾问的意见，以制定合适的应对策略。