结论：是否成为“老赖”（失信被执行人），与每月还款一千元或欠债的具体数额无直接关系，关键在于债务人是否有履行法院判决或仲裁裁决等法律文书确定义务的能力而拒不履行。

详细分析：

1. “老赖”的法律定义：

   • “老赖”是对失信被执行人的通俗称呼，并非法律术语。在法律上，失信被执行人是指那些有能力履行法院判决、仲裁裁决或其他具有执行力的法律文书所确定的义务，但却故意拒绝履行的债务人。

2. 成为“老赖”的条件：

   • 法院判决、仲裁裁决或其他具有执行力的法律文书已经生效。
   • 债务人有能力履行这些法律文书所确定的义务，但却故意拒绝履行。
   • 债权人因此向法院申请强制执行。
   • 在执行过程中，债务人依然逃避执行、抗拒执行，如拒绝报告或提供虚假财产情况、违反法院的限制消费令、无正当理由拒不履行执行和解协议等。

3. 每月还款一千元与成为“老赖”的关系：

   • 每月还款一千元本身并不直接决定债务人是否会成为“老赖”。关键在于债务人是否按照法院判决或仲裁裁决的要求履行了还款义务。
   • 如果债务人每月按时还款一千元，且这是按照法院判决或仲裁裁决的要求进行的，那么债务人不会被列为失信被执行人。
   • 如果债务人每月还款一千元，但这一金额低于法院判决或仲裁裁决所确定的还款金额，且债务人有能力支付更多金额却故意不支付，那么债务人可能会因拒不履行法院判决或仲裁裁决而被列为失信被执行人。

4. 建议与后果：

   • 建议：债务人应严格按照法院判决或仲裁裁决的要求履行还款义务，避免被列为失信被执行人。如果确实存在还款困难，应积极与债权人沟通协商，寻求解决方案。
   • 后果：一旦成为“老赖”，债务人可能面临法律上的诸多限制和处罚，如冻结银行账户、查封财产、限制高消费等。此外，失信被执行人的信息还会被公开，对个人声誉和社会信用造成严重影响。

总结：是否成为“老赖”与每月还款一千元或欠债的具体数额无关，而主要取决于债务人的行为表现和是否履行了法律规定的义务。因此，债务人应严格按照法院判决或仲裁裁决的要求履行还款义务，以避免不必要的法律风险和麻烦。如果您有具体的法律问题或需要进一步的法律建议，请直接向我咨询。