当执业医师涉及犯罪或存在严重违法违规行为时，其医师执业证书的处理方式主要依据《中华人民共和国医师法》及相关法律法规。以下是对这一问题的详细解答：

一、一般违法违规行为的处理

对于一般的违法违规行为，如未按照规定履行告知义务、拒绝急救处置、不服从卫生健康主管部门调遣等，县级以上人民政府卫生健康主管部门会责令医师改正，并可能给予警告、罚款等行政处罚。若情节严重，可能会责令暂停六个月以上一年以下执业活动，甚至吊销医师执业证书。

二、涉及伪造、变造、买卖、出租、出借医师执业证书的处理

若医师存在伪造、变造、买卖、出租、出借医师执业证书的行为，县级以上人民政府卫生健康主管部门将责令其改正，没收违法所得，并处违法所得二倍以上五倍以下的罚款。若违法所得不足一万元，则按一万元计算。情节严重的，将直接吊销医师执业证书。

三、涉及犯罪的处理

若医师的行为构成犯罪，如非法行医、医疗事故罪等，将依法追究刑事责任。在刑事责任追究的同时，其医师执业证书也极有可能被吊销，且可能面临五年直至终身禁止从事医疗卫生服务或医学临床研究的处罚。

四、处理流程

1. 立案：卫生健康主管部门通过检查发现、投诉、举报等途径获取违法线索后，将进行立案调查。
2. 调查：调查取证过程中，将依法收集、调取证据，并告知当事人有申请办案人员回避的权利。
3. 审查：行政机关法制审核机构将对案件进行审查，确保处罚的合法性和合理性。
4. 告知：在做出行政处罚决定前，将书面告知当事人拟做出的处罚决定的事实、理由、依据及处罚内容，并告知其享有的陈述权、申辩权和听证权。
5. 决定：根据审查结果，卫生健康主管部门将作出给予行政处罚、销案、不予行政处罚或移送其他机关等处理决定。
6. 送达：行政处罚决定书将在宣告后当场交付当事人，或依照民事诉讼法的有关规定送达。
7. 执行：监督当事人在法定期限内履行生效的行政处罚决定。若当事人不履行，可申请人民法院强制执行。

五、特殊情形

对于中医医师未按照注册的执业地点、执业类别、执业范围执业的，以及经考核取得医师资格的中医医师超出注册的执业范围从事医疗活动的，也将面临类似的行政处罚，包括警告、罚款、暂停执业活动直至吊销医师执业证书。

总结：执业医师若涉及犯罪或严重违法违规行为，其医师执业证书将面临吊销的风险。同时，根据违法行为的性质和情节，还可能面临罚款、暂停执业活动、禁止从事医疗卫生服务或医学临床研究等处罚。因此，医师应严格遵守法律法规和执业规范，确保医疗质量和安全。