若银行不履行其提供的诉讼保函，您可以按照以下步骤处理：

1. 核查保函条款与合同约定
   首先，仔细审查诉讼保函的具体条款，确认银行承诺的义务范围（如担保金额、担保期限、触发条件等），并核对您与银行签订的合同中是否有关于保函履行的特殊约定。若银行未履行保函义务的行为明显违反条款（如拒绝支付符合条件的索赔），则构成违约，您有权要求其承担责任。

2. 正式书面催告与证据固定
   向银行发送书面催告函，明确指出其未履行保函义务的具体事实（如未支付款项、未出具确认文件等），并要求其在合理期限内（如7-15日）履行义务或给出书面解释。同时，保存好保函原件、合同、催告函及送达凭证（如邮寄回执、电子邮件截图）等证据，以备后续维权使用。

3. 向监管部门投诉或申请调解
   若银行仍拒绝履行，可向当地银保监会或银行业协会投诉，说明银行违规事实并提交证据。监管部门可能介入调查并督促银行整改。此外，您也可通过银行内部投诉渠道（如客服热线、分行负责人）或第三方调解机构（如金融纠纷调解中心）申请调解，以低成本、高效率解决争议。

4. 提起诉讼或仲裁主张权利
   若上述途径无效，您可直接向法院起诉银行，要求其履行保函义务（如支付担保款项）并赔偿损失（如利息、诉讼费、律师费等）。若保函或合同中约定了仲裁条款，则需向约定的仲裁机构申请仲裁。诉讼或仲裁中，您需重点证明：

   • 保函合法有效且已触发履行条件（如您已提供符合要求的索赔文件）；
     
   • 银行未履行义务构成违约；
     
   • 您的实际损失与银行违约行为存在因果关系。

5. 申请财产保全或强制执行
   若银行拒不执行生效判决或仲裁裁决，您可向法院申请强制执行，要求划扣银行账户资金或查封、拍卖其财产。若担心银行转移资产，可在诉讼或仲裁前申请财产保全，冻结银行相应金额的资产，确保后续执行顺利。

温馨提示：诉讼保函纠纷涉及合同、担保、金融监管等多领域法律问题，建议根据案件复杂程度委托律师协助处理，尤其是涉及大额担保或跨国保函时，专业律师可帮助您精准制定策略、高效固定证据，最大限度维护权益。如有进一步疑问，欢迎随时向我咨询。