结论：在此情况下，住院费的负责方需根据具体情形来判断，可能是推人老人或其家人负责，也可能是养老院承担一定责任，甚至可能涉及多方分担责任。以下是对各种可能性的详细分析：
推人老人或其家人的责任：
- 法律背景：根据一般法律原则，如果老人具有完全民事行为能力，他应当对自己的行为负责。在此情况下，老人推倒另一位老人导致其住院，那么推人老人或其家人（如果老人无法承担责任）应当负责支付住院费用。
- 可能后果：如果推人老人或其家人拒绝支付，受害老人或其家人可以通过法律途径追讨，包括提起民事诉讼要求赔偿。
养老院的责任：
- 法律背景：养老院作为提供养老服务的机构，对在其场所内发生的老人之间的伤害事件可能负有一定的管理责任。特别是如果养老院未能提供足够的安全措施或未能及时制止争吵和推搡行为，那么养老院可能需要承担一定的责任。
- 可能后果：如果养老院被认定负有责任，它可能需要支付部分或全部住院费用，具体取决于其过错程度和法律规定。
多方分担责任：
- 法律背景：在实际操作中，可能存在多种因素导致责任需要多方分担。例如，推人老人可能因年龄或健康原因无法完全承担责任，而养老院也可能存在一定程度的管理疏忽。
- 可能后果：在这种情况下，住院费用可能由推人老人或其家人、养老院以及可能的其他相关方（如保险公司）共同分担。具体分担比例需要根据各方过错程度、法律规定以及实际情况来确定。
建议：
- 对于受害老人或其家人来说，首先应当确保受伤老人得到及时的治疗和照顾。
- 随后，可以与推人老人或其家人以及养老院进行协商，尝试达成一个合理的费用分担协议。
- 如果协商无果，可以考虑通过法律途径解决争议，包括提起民事诉讼或申请仲裁等。
- 在整个过程中，建议咨询专业律师以获取更具体的法律建议和指导，以便更好地维护自身权益。
额外思考：
- 养老院应当加强安全管理措施，预防类似事件的发生。例如，可以增加监控设备、加强员工培训、制定更严格的安全规定等。
- 对于老人之间的争吵和冲突，养老院应当及时介入并调解，以避免事态升级和造成不必要的伤害。
如有任何进一步的问题或需要更具体的法律建议，请直接向我咨询。